Auf dieser Seite zeigen wir, daß alle Größen und Gleichungen der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) mit 2x2-Matrizen dargestellt werden können.\\ Diese Form ist wesentlich einfacher und benötigt weniger Annahmen als die konventionelle Vierervektor-Darstellung (siehe Abs. \ref{secvergl}).\\ Man kann daher vermuten, daß die zugrundeliegende Matrixalgebra – ähnlich wie die Spinoralgebra – fundamentaler als die vierdimensionale Vektoralgebra der Minkowski-Raumzeit ist (siehe Abs. \ref{Spinoren}). \section{Vergleich der Matrixdarstellung mit konventioneller Vierervektor-Darstellung} \label{secvergl} Die Matrixdarst. reproduziert alle Ergebnisse der SRT, benötigt aber wesentlich weniger Annahmen und ist signifikant einfacher (siehe zB. Abs. \ref{sec-mech}).\\ Im Einzelnen hat sie folgende heuristischen Vorzüge:
Wir verwenden die Einsteinsche Summenkonvention: Über doppelt auftretende Indizes in Produkten wird implizit summiert: $a_k b_k \DEF \sum_k a_k b_k$ und analog $a_k^2 \DEF \sum_k a_k^2$ (außer bei Einheiten-Gln.: zB. $\sigma_\mu^2 = I$ gilt für alle $\mu$).\\ Variablensymbole:
Es sei eine beliebige 2x2-Matrix $\fbox P \DEF {\alpha,\,\gamma\choose\beta,\,\delta}$ aus 4 komplexen Zahlen $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\CS$ gegeben.
Die drei Pauli-Matrizen $\fbox \sigma_1 \DEF {0,1\choose 1,0},\; \sigma_2 \DEF {0,-i\choose i,\;0},\; \sigma_3 \DEF {1,\;0\choose 0,-1}$ sind hermitesch: $\sigma_k^\dagger =\sigma_k $. Zusätzlich definieren wir $ \fbox \sigma_0 \DEF I$ als ebenfalls hermitesche, vierte Basismatrix.\\ Damit gilt $\sigma_\mu^2 =\sigma_0 = I,\; \sigma_\mu^\dagger =\sigma_\mu $, $ \bar\sigma_0 = \sigma_0,\;\bar\sigma_k = -\sigma_k $, $ \sigma_1\sigma_2 = -\sigma_2\sigma_1 = i\sigma_3$ usw. (123-zyklisch). Daraus folgt eine Orthogonalitäts-Relation $\UL{\TR (\sigma_\mu\sigma_\nu) = 2\delta_{\mu\nu}}.$ (Aufgabe: Beweis)\FN{ Hinweis: Man benutze $\TR(\sigma_0) = 2 $ und $\TR(\sigma_k) = 0$}\\ Allgemein gilt folglich für das Produkt zweier Pauli-Matrizen $\UL{\sigma_i\sigma_j = \delta_{ij} +i\epsilon_{ijk} \sigma_k}$\FN{ Mit den Regeln $\epsilon_{mkl}\epsilon_{lnj} = \delta_{mn}\delta_{kj} -\delta_{mj}\delta_{kn}$ (nur die Summanden, für die $m=n, k=j$ oder $m=j,k=n$ ist, verschwinden nicht) folgt das allg. Pauli-Triple-Produkt\\ $ \UL{\sigma_m\sigma_k\sigma_n} = (\sigma_m\sigma_k)\sigma_n = (\delta_{mk}I + i\epsilon_{mkl}\sigma_l)\sigma_n = \delta_{mk}\sigma_n + i\epsilon_{mkl}(\delta_{ln} + i\epsilon_{lnj}\sigma_j) $ $ = \delta_{mk}\sigma_n + i\epsilon_{mkn}I - \epsilon_{mkl}\epsilon_{lnj}\sigma_j = \UL{\delta_{mk}\sigma_n - \delta_{mn}\sigma_k +\delta_{kn}\sigma_m + i\epsilon_{mkn} I} $\\ Als Probe (insbes. Vz) genügen die vier Kombinationen mkn = 111, 121, 122, 123 } mit dem vollständig antisymmetrischen Tensor $\epsilon_{ijk}$.\FN{ Er hat 3³ = 27 Komponenten, von denen nur 6 ungleich Null sind: $\epsilon_{123}=1,\;\epsilon_{213} =-1$. Die anderen 4 ergeben sich durch zyklische Vertauschung der Indizes. }
Die vier Matrizen $\sigma_\mu$ bilden eine Basis im Vektorraum der komplexen 2x2-Matrizen, dh. jede Matrix $P \DEF {\alpha,\,\gamma\choose\beta,\,\delta} \in\CS^{2x2} $ kann in der Form $\fbox P \DEF \pi_\mu\sigma_\mu = {\pi_0+\pi_3,\,\pi_1-i\pi_2\choose \pi_1+i\pi_2,\,\pi_0-\pi_3} $ mit vier komplexen Zahlen $\pi_\mu\in\CS$ dargestellt werden.\\ Beweis: $\UL{\pi_0 =\frac 12(\alpha+\delta),\; \pi_3 =\frac 12(\alpha-\delta),\; \pi_1 = \frac 12(\beta+\gamma),\; \pi_2 = \frac 1{2i}(\beta-\gamma)}.$ Damit ist die Abbildung des damit definierten 4-Vektors $(\pi_0,\dots,\pi_3) \Leftrightarrow (\alpha,\beta,\gamma,\delta)$ eineindeutig.\\ Die Determinante – durch die Komponenten $\pi_\mu$ ausgedrückt – definiert mit $\fbox |P|= \pi_0^2 - \pi_k^2 \DEF \eta^{\mu\nu}\pi_\mu\pi_\nu$ die Minkowski-Metrik $\eta^{\mu\nu} = [1,-1,-1,-1]$ (als 4x4-Diagonal-Matrix), mittels $\TR(\sigma_\mu\bar\sigma_\nu) = 2\eta^{\mu\nu} $\\ Damit ist das lorentz-invariante Skalarprodukt auch für komplexe 4-Vektoren $\alpha_\mu,\beta_\mu\in \CS^4$ mit $A\DEF \alpha_\mu\sigma_\mu,\; B \DEF \beta_\mu\sigma_\mu$ definiert als $\fbox \, \alpha_\mu \beta^\mu = \alpha_\mu \beta_\nu \eta^{\mu\nu} \DEF \frac 12\TR(A\bar B) = \alpha_0 \beta_0 -\alpha_k \beta_k,\,$ da $\TR(A\bar B) = \TR( \alpha_\mu \sigma_\mu \beta_\nu \bar \sigma_\nu) = \alpha_\mu \beta_\nu \TR(\sigma_\mu\bar \sigma_\nu) = 2 \alpha_\mu \beta_\nu \eta^{\mu\nu}.$
\section{Minkowski-Matrizen & Lorentz-Transformationen} \label{sec-lt}Minkowski-Vektoren $(m_0,\dots, m_3)\in \RS^4$ werden mit $\UL{M \DEF m_\mu\sigma_\mu = m_0 +m_k\sigma_k \DEF m_0 +\vec m }$ eineindeutig auf Matrizen $M$ abgebildet. \\ Wegen der Hermitezität der Basis gilt $\UL{M^\dagger} = m_\mu^\ast \HC \sigma_\mu = m_\mu \sigma_\mu = \UL {M},$ sie sind also hermitesche Matrizen. Wir bezeichnen diese Matrizen hier als Minkowski-Matrizen (MM).\\ Sie haben die explizite Matrixform $M = {a,\, \eta^\ast \choose \eta,\, b},$ mit reellen Diagonalelementen $a \DEF m_0+m_3,\, b \DEF m_0 -m_3 \in\RS$ und komplexem $\eta \DEF m_1+im_2\in \CS$.\\ Die (ebenfalls reelle) Determinante $|M| = m_0^2 -m_k^2 = ab - |\eta|^2 =m_\mu m_\nu \eta^{\mu\nu}$ ist die Lorentz-Invariante, also gilt $|M| \gt 0$ für zeitartige, $|M| \lt 0$ für raumartige und $|M| = 0$ für lichtartige Vektoren.\\ Für Minkwoski-Matrizen bewirkt die bar-Operation $M\to \bar M $ offensichtlich eine Raum-Spiegelung (aller drei Komponenten $m_k\to -m_k$) bei ungeänderter Zeitkomponente $m_0$.\FN{ Das ist eine uneigentliche LT. Diese lassen sich im unten beschriebenen Matrix-Formalismus\\ nicht in der Form $M' =T M\HC T$ darstellen, wohl aber in der Vierervektor-Form (s. Abs. \ref{secvergl}) }\\ Für die Raumzeitkoordinaten $\UL{X \DEF x_\mu\sigma_\mu \DEF x_0 + \vec x}$ ist $\vec x \DEF x_k\sigma_k$ die R³-Koord. $(x,y,z)$ und $\UL{x_0 \DEF ct}$ die Zeitkoordinate, mit $\UL{c = 300.000 \frac{km}s}$ als Lichtgeschwindigkeit.\\ In Kugelkoordinaten $(r,\theta,\VP)$ hat $\vec x$ die Darst $\vec x \DEF r\vec e,$ mit dem Einheitsvektor in Matrixform $\vec e = {e_z,\;e_x -ie_y\choose e_x+ie_y,-e_z} \DEF {\cos \theta,\; e^{-i\VP}\sin\theta \choose e^{i\VP}\sin\theta,\,-\cos\theta}.$
Eine Lorentz-Transformation (LT) wird mit einer unimodularen Matrix $T\in \CS^{2x2},\; |T|=1$ beschrieben, mit $\fbox\, M\to M' = TM \HC T\, (*)\,$.\\ Eine solche Matrix $T$ hat drei komplexe (= 6 reelle) Freiheitsgrade, die die drei R3-Drehwinkel & die drei echten RZ-Transformationen (boosts) darstellen.\\ Hermitezität $\HC{M'} = (TM \HC T)^\dagger = TM \HC T = M'$ und Invariante $|M'| = |T M \HC T| = |T| |M| | \HC T| = |M| $ bleiben dafür erhalten, da auch $ | \HC T| = |T|^\ast = 1 $.\\ Die bar-Matrix $\bar M$ transformiert sich folglich mit $\bar M' = \overline{(TM \HC T) } = \bar \HC T \bar M\, \bar T.$ Die Umkehrformel $M'\to M$ ergibt sich durch beidseitige Multipl. von $\bar T(*)\bar \HC T$ zu $ M = \bar T M' \bar \HC T $.
Die Gruppe aller $T$ bildet eine Doppel-Darstellung der eigentlichen Lorentz-Gruppe, da $T' = -T$ dieselbe LT wie $T$ beschreibt.\\ Die Gruppe heißt $SL(2,\CS)$ spezielle lineare Gruppe (Wikipedia) (vom Grad 2 über dem Körper der komplexen Zahlen).\\ Eine wichtige Untergruppe sind die unitären Matrizen $SU(2,\CS) \subset SL(2,\CS),$ für die zusätzlich gilt $\bar T = \HC T.$ Da sie die skalare (Zeit-)Komponente $m_0$ invariant lassen, stellen sie die R3-Rotationen dar.\\ Sie sind isomorph zu den Einheits-Quaternionen, die die bekannte Formel für quaternionische Drehungsoperationen im R3 erzeugen (siehe Abs. \ref{secmexp}).
Die explizite Darst einer bel. LT lautet $\UL{T \DEF \tau_0 +\tau_k\sigma_k}$ (mit $|T| = \tau_0^2 -\tau_k^2 \stackrel != 1$). Mit $\HC T = \tau_0^\ast + \tau_k^\ast\sigma_k$ und $\bar T = \tau_0 -\tau_k\sigma_k $ ergibt sich folgende Klassifizierung der LT:
Die Gleichungen der relativistischen Mechanik sind in Matrixform völlig analog zur Vierervektor-Formulierung.
Wir betrachten einen Massenpunkt, der sich auf einer Trajektorie $x_k(t)$ im R³ bewegt. In Matrixform ist dann seine Koordinaten-MM $X(t) = x_\mu\sigma_\mu,\; \UL{x_0 \DEF ct}$, also differentiell $\UL{dX = Udt}$ mit $ U \DEF c +u_k\sigma_k,\; u_k \DEF \frac{dx_k}{dt}.$\\ Da die Bewegung stets mit Unterlichtgeschwindigkeit abläuft ($u_k^2 \lt c^2$), ist $|U| = c^2-u_k^2 \gt 0$ (dh. $U$ ist eine zeitartige MM).\FN{ $U$ ist jedoch im Gegensatz zu $X$ und $V$ nicht LT-kovariant, da $dt$ keine Invariante ist. }\\ Wir definieren nun mit $\UL{d\tau} \DEF dt\frac {\sqrt{|U|}}c = dt \frac{\sqrt{ c^2-u_k^2}}c= \UL{dt\sqrt{1-u^2}$ (mit $\UL{u^2\DEF \frac{u_k^2}{c^2}}$) die LT-invariante Eigenzeit $\tau$ als neuen Bahnparameter. Das ergibt die bekannte Formel für die Zeitdilatation $dt = \frac{d\tau}{\sqrt {1- u^2}$.\\
Damit ist $\fbox V(\tau)\DEF \frac {dX}{d\tau} = U \frac {dt}{d\tau} $ die normierte 4D-Geschwindigkeits-MM. Für sie gilt $\UL{|V|}=|\frac {dX}{d\tau}| = |\frac {dX}{dt}\frac {dt}{d\tau}|= |U|(\frac {dt}{d\tau})^2 = |U|\frac {c^2}{|U|} = \UL{ c^2}$, also $\UL{v_0^2-v_k^2 = c^2}$.\\ Also ist die Zeitkomponente von $V$ gleich $v_0 = \sqrt{c^2 +v_k^2} = \frac{c}{\sqrt {c^2-u_k^2}} \geq c.$ Und es gelten die Umrechnungsformeln $cdt = dx_0 = v_0 d\tau = \sqrt{c^2 +v_k^2} d\tau$ und $v_k = \frac {u_k}{\sqrt {1- u^2}},\; u_k = \frac {cv_k}{\sqrt {c^2+v_k^2}}.$
Für einen Massenpunkt mit Ruhmasse $m$ ergeben sich die Grundgleichungen der SRT-Mechanik direkt durch die Ersetzung von $t\to \tau$ aus den entsprechenden klassischen Gleichungen.\\ Sie lauten in Matrixform – mit $K$ als 4D-Energie-Impuls-MM (EI-MM) und $F$ als 4D-Kraft-MM:\\ \[ \UL{dX = Vd\tau\; (1),\quad K \DEF mV\;(2), \quad dK = Fd\tau\;(3) } \]
Damit lautet das Grundgesetz der relativist. Mechanik $\fbox \frac {dK}{d\tau} =m\frac {d^2 X}{d\tau^2} = F$ als Ablösung des zweiten Newtonschen Gesetzes. Alle Gleichungen sind trivial lorentz- und spiegel-kovariant.\\ Aus Gl. $(2)$ folgt $ |K| = m^2 c^2$, und mit Hilfe von $d|V| = d (V\bar V) = dV\bar V + V d\bar V = 0$ erhalten wir $ d |K| = d (K\bar K) = dK\bar K + Kd\bar K = m d\tau(F\bar V + V\bar F) = 0.$ Also sind $F,V$ orthogonal: $\TR(F\bar V) = 0.$\\
Die kinetische relativist. Energie $e_k$ bestimmt sich aus der Zeitkomponente $k_0$ mit $e_k \DEF c k_0 = mc v_0 = mc\sqrt{c^2+v_n^2} \approx m(c^2+\frac {v_n^2}2) = mc^2 + \frac {k_n^2}{2m}$ (die Näherung gilt für kleine Geschwindikeiten $v_n^2\ll c^2$).\\ In einem zeitunabhängigen, skalaren Potentialfeld $u(\vec x)$ mit $E\DEF \nabla u =u,_k\sigma_k$ (nicht LT-kovariant) ist $ F = -\frac 1{2c}(VE + E V) = - \frac 1c u,_m(v_m+ v_0\sigma_m),$\FN{ Für das allgemeine em. Vektorpotential $A\DEF u + H$ gilt $F = \frac 1{2c}(V\bar\partial A + A \bar\partial V),$ wobei der partielle Ableitungs-Operator $\partial \DEF \frac \partial{\partial t} +\nabla $ nur auf $A$ wirkt (von links und rechts). }\\ also insbesondere $\UL{ c\frac {dk_0}{d\tau}} = cf_0 = - u,_m v_m = - u,_m \frac {dx_m}{d\tau} = \UL{-\frac {du}{d\tau}}.$ Damit ist die Gesamtenergie $\UL{e \DEF ck_0 + u = const.}$ zeitunabhängig (eine Erhaltungsgröße).
Für masselose, lichtartige Teilchen gibt es wegen $|U| = 0$ keine Eigenzeit (und kein Ruhsystem). \\ Für Photonen wird jedoch der EI-MM quantenmechanisch als $\UL{K = \hbar W},$ mit der Wellenzahl-MM $W= \frac \omega c + \vec w,\; |W| = 0$ definiert.
\section{Ruhsysteme & Schwerpunktsysteme} \label{sec-ruh}In einem Ruhsystem (bezüglich eines Massenpunktes) gilt $\vec v = 0$ also $V \DEF v_0 +\vec v = cI,$ und demzufolge wegen $dX \DEF dx_0 +d\vec x = Vd\tau,\; \UL{dx_0 \DEF cdt = cd\tau},\; d\vec x = 0$ (das ist die Def. der Eigenzeit).\\ Ein solches Koordinatensystem ist natürl. nicht eindeutig bestimmt, denn eine R³-Drehung ($\HC T = \bar T$) ändert $V$ nicht: $V' = TV\bar T = cT I\bar T = cI = V.$
Wir suchen nun eine Boost-LT ($ \HC T= T$), die ein gegebenes $V$ in ein Ruhsystem transformiert. Das ist im Matrixformalismus sehr einfach zu lösen:\\ Dafür muß gelten $\UL{TVT \stackrel ! = cI},$ also $V =c \bar T I \bar T \stackrel ! = c(\bar T)^2$. Das ergibt $V\DEF v_0 + v_k\sigma_k \stackrel != c(\bar T)^2 = c(t_0-t_k\sigma_k)^2 = c(t_0^2 + t_k^2 -2t_0 t_k\sigma_k),$ also liefert der Komponentenvergleich die 4 Gln. $v_0 \stackrel != c(t_0^2 + t_k^2),\; v_k \stackrel != -2ct_0 t_k$\\ Mit der Bedingung $ |T| = t_0^2 -t_k^2 = 1$ folgt sofort $v_0 = c(2t_0^2 -1),$ also $t_0 = \pm \sqrt {\frac {v_0+c}{2c}}$ und $t_k = -\frac{v_k}{2ct_0} = -\frac{v_k}{\pm \sqrt {2c (v_0+c)}$ und damit schließlich die gesuchte Boost-LT $\UL{T = \pm \sqrt {\frac {v_0+c}{2c}}(I - \frac {v_k }{v_0+c} \sigma_k)}.$ (Aufgabe: Probe $|T| = 1$ und $TVT = cI$)
Die obige Rechnung läßt sich direkt verallgemeinern zur Bestimmung eines Schwerpunktsystems (SP-KS) eines Vielteilchensystems.\\ Dieses wird durch die Energie-Impuls-MM der einzelnen T. $K_1, K_2,\dots K_n $ beschrieben. Die Gesamt-EI-MM ist $\UL{K \DEF k_0 + \vec k \DEF \sum K_i}.$\\ Ein SP-KS ist dadurch definiert, daß hier der Vektoranteil $\vec k'$ von $K'= TK T= k_0' + \UB{\vec k'}_{=0} = k_0' \DEF k$ Null ist.\\ Dh es wird eine Boost-LT $T$ gesucht, die das liefert, wobei für die Konstante k natürlich $ k^2 = |K|$ gelten muß (Determinantenregel).\\ Ein solches KS ist sogar für ein System masseloser, lichtartiger Teilchen (Photonen) definiert, da auch sie einen EIV $K_i$ (mit $|K_i| = 0$) besitzen – solange $k\neq 0$ erfüllt ist. ($k=0$ gilt nur für spezielle Photonensysteme\FN{ Es gilt $k^2 \DEF |K| = |\sum K_i| = \frac 12 \TR((\sum K_i)(\sum \bar K_j)) = \frac 12 \sum_{ij}\TR( K_i\bar K_j).$\\ Für ein System aus zwei Photonen bedeutet diese Bedingung zB, daß ihre Wellenzahl-MM parallel sind:\\ $\sum_{ij}\TR( K_i\bar K_j) = \sum_i\TR( K_i\bar K_i)+ 2\TR( K_1\bar K_2) = 2\TR( K_1\bar K_2) = 0$ erfordert $K_1 = cK_2$ }). \\ Dann läßt sich $T$ analog oben bestimmen: Wir setzen $TKT \stackrel ! = kI$ also $K \stackrel ! = k(\bar T)^2,$ resp. $k_0 +k_m\sigma_m \stackrel != k( t_0^2 + t_m^2 -2t_0 t_m\sigma_m)$. Das liefert analog oben $\UL{T = \pm \sqrt {\frac {k_0+k}{2k}}(I - \frac {k_m }{k_0+k} \sigma_m)}.$
\section{Produkte von Minkowski-Matrizen & antisymmetrische Tensoren} \label{secprod}Die Algebra der Matrizen erlaubt prinzipiell die Bildung beliebiger Produkte $C \DEF A B.$ Diese sind aber nicht LT-kovariant, wenn $A,B$ MM sind, denn $C' = A'B' = TA\UB{\HC T T}_{\neq I} B \HC T$ ergibt keinen kovarianten Ausdruck.\\ Kovariant sind nur 'alternierende' Produkte der Form $C \DEF A \bar B$ (analog $D\DEF \bar A B$),\FN{ Dieser Ausdruck ergibt sich aus $C$ mit einer Raum-Spiegelung $A\to \bar A,\; B \to \bar B$ } denn dafür gilt $\UL{C'} = A'\bar B' = TA\UB{\HC T \bar \HC T}_{=I} \bar B\, \bar T = TA\bar B\, \bar T = \UL{T C \bar T}.$ (Das läßt sich beliebig fortsetzen, zB $X \DEF A\bar B C\dots$)\\ Beispiele dafür sind die elektromagnetische Feldstärke-Matrix $\partial \bar A$ \FN{ $\partial $ ist der Matrix-Operator der partiellen Ableitung und $A$ die Potential-Matrix des Feldes.\\ Damit ist die e.m. Feldstärke-Matrix der Vektor-Anteil $F \DEF E+iB = \frac 12(\partial \bar A - A\bar\partial)$ } und die relativistische Drehimpuls-Matrix $X\bar K$ (s.u.).\\ Diese haben 4 Komponenten $C \DEF c_\mu\sigma_\mu = c_0 +c_k\sigma_k \DEF c_0 +\vec c = (a_0+a_k\sigma_k)(b_0-b_m\sigma_m),$ wobei $c_0\in\RS,\; c_k \in \CS,$ und wie beschrieben, ein anderes LT-Verhalten als MM.\\ Die skalare (Zeit-)Komponente $c_0 =\frac 12\TR(C+\bar C) = a_0b_0 -a_kb_k\in \RS $ ist das reelle, invariante Skalarprodukt, und die spurfreie 3-Vektor-Matrix $\vec c =\frac 12(C-\bar C) =\frac 12(A\bar B - B\bar A)$ transformiert sich unabhängig davon: $\vec c' = T \vec c\bar T,$\\ wobei ihre Determinante $|\vec c'| = |\vec c| = c_k^2$ ebenfalls trivial invariant ist. Aus der Det.-Gl. folgt $|A||B| = |C| = c_0^2 - c_k^2 \in \RS,$ da für die MM $|A|,|B| \in \RS$ gilt. Also ist auch $c_k^2 \in\RS$ reell. \\ (Da die $c_k$ komplex sind, kann $c_k^2$ auch Null werden, dann ist $\vec c$ eine nil-potente Matrix.) \\ Explizit ist $c_k = \UB{a_0b_k -a_kb_0}_{\DEF u_k} +i\UB{\epsilon_{mkl} b_k a_l}_{\DEF v_k}\DEF u_k +iv_k$ mit Real- und Imaginärteil $u_k,v_k$. Daraus folgt, daß $\vec u$ ein polarer Vektor (linear in $a_k,b_k$) und $\vec v$ ein axialer Vektor (bilinear in $a_k,b_k$) ist.
Bei R³-Drehungen ($\bar T = \HC T$) transformieren sich beide Vektoren separat wie gewöhnliche Vektoren $\vec u' = T\vec u \HC T,\; \vec v' = T\vec v \HC T,$ werden jedoch bei Boosts ($T = \HC T$) gemischt. \\ Wir zeigen das am Beispiel einer beliebigen LT in z-Richtung $T \DEF \tau_0 +\tau_3\sigma_3$. Mit $\sigma_3\sigma_k = \pm \sigma_k\sigma_3$ folgt: \[\vec c' = T\vec c \bar T = (\tau_0 +\tau_3\sigma_3)(c_k\sigma_k)(\tau_0 -\tau_3\sigma_3) = (c_1\sigma_1+c_2\sigma_2)(\tau_0 -\tau_3\sigma_3)(\tau_0 -\tau_3\sigma_3) +c_3\sigma_3\UB{(\tau_0 +\tau_3\sigma_3)(\tau_0 - \tau_3\sigma_3)}_{=1} = (c_1\sigma_1+c_2\sigma_2)(\tau_0^2 +\tau_3^2 - 2\tau_0\tau_3\sigma_3) + c_3\sigma_3 = (\tau_0^2 +\tau_3^2) (c_1\sigma_1+c_2\sigma_2)+ 2i \tau_0\tau_3(c_1\sigma_2 - c_2\sigma_1) + c_3\sigma_3 \DEF c_k'\sigma_k \] Wir erhalten damit $c_1' = (\tau_0^2 +\tau_3^2) c_1 -2i \tau_0\tau_3 c_2,\; c_2' = (\tau_0^2 +\tau_3^2) c_2 +2i \tau_0\tau_3 c_1,\; c_3' = c_3.$ Die Substitution $\tau_0 = \cosh\frac\lambda 2,\; \tau_3 = \sinh\frac\lambda 2$ (sie erfüllt $|T| = \tau_0^2 -\tau_3^2 =1$) ergibt $ \tau_0^2 +\tau_3^2 = \cosh \lambda,\; 2 \tau_0\tau_3 = \sinh \lambda,$\\ also $\UL{c_1' = \cosh \lambda c_1 -i\sinh \lambda c_2,\; c_2' = \cosh \lambda c_2 +i\sinh \lambda c_1},$ $c_3$ bleibt invariant.\\
Zum Vergleich betrachten wir die Vierervektor-Darstellung:\\ Hier kennen wir das Tensorprodukt $c_{\mu\nu} \DEF a_\mu b_\nu \in\RS$ mit 16 reellen Komponenten. Man kann es zerlegen in symmetrischen und antisymm. Anteil (10 + 6 Komp).\\ % $c_{\mu\nu} \DEF s_{\mu\nu} + a_{\mu\nu},$ Vom symm. Anteil hat nur das invariante Skalarprodukt $c_{\mu\nu} \eta^{\mu\nu}$ physikalische Bedeutung. Der physikalisch relevante, antisymm. Anteil wird jedoch durch den Vektoranteil von $A\bar B$ dargestellt.
ZB. ist der relativist. Drehimpuls in Tensorform der antisymm. Anteil des Produkts aus Raumzeitvektor $x_\mu$ und Energie-Impulsvektor $k_\mu$: $l_{\mu\nu}\DEF x_\mu k_\nu - x_\nu k_\mu.$\\ Dieser entspricht genau dem Vektoranteil des Produkts $L \DEF X\bar K.$\FN{ Der skalare Anteil $l_0 = x_0k_0 - x_m k_m$ ist das invariante Skalarprodukt. }\\ Beweis: $L \DEF l_0 +l_m\sigma_m = X\bar K =(x_0 +x_k\sigma_k)(k_0 - k_m\sigma_m) =\UB{x_0k_0 - x_m k_m}_{l_0} + \UB{(x_m k_0 - x_0 k_m -i\epsilon_{mkl} x_k k_l)}_{l_m}\sigma_m$ ergibt $l_m = x_m k_0 - x_0 k_m -i\epsilon_{mkl} x_k k_l = l_{m0} -i \epsilon_{mkl}l_{kl}$ Die Abb $l_m \Leftrightarrow l_{\mu\nu}$ ist damit eineindeutig, qed.\FN{ Eine analoge Beziehung gilt für die em Feldstärke-Matrix $F$. Diese wird aus den Feldern $E,B$ gebildet mit $F \DEF E +iB.$ }
\section{Matrix-Exponentialfunktionen & Lorentz-Transformationen} \label{secmexp}Es sei $Z \DEF z_\mu \sigma_\mu = z_0 +z_k\sigma_k \DEF z_0 +\vec z$ eine Matrix mit beliebigen komplexen Koeffizienten $z_\mu \in \CS$. Eine (i.A. komplexe) 'Norm' von $\vec z$ sei def. als $\lambda^2 \DEF \vec z^2 = \sum_k z_k^2,\; \lambda \in \CS $.\\ Wenn $\lambda \neq 0$ ist, kann man einen 'Einheitsvektor' (er erfüllt $\vec e^2 = 1$) definieren: $e_k \DEF \frac {z_k}\lambda$\FN{ $\lambda$ und $\vec e$ sind damit nur bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt, man kann aber zB. festlegen, daß $\Re(\lambda) \geq 0$ gelten soll. } Dann gilt $\vec z = \lambda\vec e $.\\ Wir definieren nun eine Matrix-Exponentialfunktion $E(Z) \DEF e^Z = e^{z_0 + \vec z} = e^{z_0 + \lambda\vec e} = e^{z_0}\, e^{\lambda\vec e} $ (mit skalarem Faktor $ e^{z_0}$) durch die Reihenentwicklung $ \UL{e^{\lambda\vec e}} = I + \lambda \vec e + \frac 1{2!}(\lambda\vec e)^2 + \frac 1{3!}(\lambda\vec e)^3 + \cdots = (1 + \frac 1{2!}\lambda^2 +\cdots)I + (\lambda + \frac 1{3!}\lambda^3 +\cdots)\vec e = \UL{\cosh\lambda + \sinh\lambda\cdot \vec e}$.\FN{ Eine solche Def ist natürl. nur für dimensionslose (Zahlen-)Matrizen $Z$ sinnvoll, da man Potenzen von dimensionsbehafteten Größen nicht addieren kann.\\ }\\ Zu beachten ist, daß man – wegen der Nichtkommutativität der Matrixmultiplikation – die Argumente zweier Exponentialfunktionen i.A. nicht addieren darf: $e^{X} e^{Y} \neq e^{X+Y}$, wenn $XY\neq YX$.\\ Es gilt jedoch ein Additionstheorem für Exponentialfunktionen mit gleichem $\vec e$ (es ist eine Verallg. des Einsteinschen Additionstheorems für Geschwindigkeiten): \[ \UL{E(\lambda_1 \vec e)E(\lambda_2 \vec e)} = (\cosh\lambda_1 + \sinh\lambda_1 \vec e)(\cosh\lambda_2 + \sinh\lambda_2 \vec e) = \cosh\lambda_1 \cosh\lambda_2 + \sinh\lambda_1 \sinh\lambda_2 +(\cosh\lambda_1\sinh\lambda_2 +\cosh\lambda_2\sinh\lambda_1)\vec e = \cosh(\lambda_1 +\lambda_2) + \sinh(\lambda_1 +\lambda_2)\vec e = \UL{E((\lambda_1+\lambda_2) \vec e)} \] $E(Z) = E(z_0,\lambda,\vec e)$ ist eine holomorphe Funktion der zwei komplexen Argumente $z_0,\lambda$, und es gilt $|E| = e^{Z}e^{\bar Z} = e^{Z + \bar Z} = e^{2z_0}$ ($Z,\bar Z$ kommutieren).\\ Ein einfaches Beispiel ist $\vec e = \sigma_3$ also $\vec z = \lambda\sigma_3 = {\lambda,\;0\choose 0, \, -\lambda$, was ergibt $E(\vec z) = e^{\lambda\sigma_3} = \cosh\lambda + \sinh\lambda\sigma_3 = { \cosh\lambda + \sinh\lambda,\quad 0\quad \choose \quad 0,\quad \cosh\lambda - \sinh\lambda} = {e^\lambda,\,0\choose 0, \, e^{-\lambda}$ \\ Speziell für $z_0 = 0$ ist $T \DEF E(\vec z) = e^{\vec z} = e^{\lambda \vec e} $ unimodular: $|T| = 1,$ stellt also eine LT dar. (Damit sind alle LT darstellbar, weil $\vec z$ drei komplexe = 6 reelle Freiheitsgrade hat.)
Wenn $\vec e$ ein reeller Vektor ist (alle $e_k \in \RS$), gilt $\HC T = \HC{(e^{\lambda \vec e})} = e^{\HC{(\lambda \vec e)}} = e^{\lambda^\ast \vec e}.$ Dann gibt es wieder folgende Fälle (vergl Abs. \ref{sec-lt}):
'Reelle' Quaternionen sind hyperkomplexe Zahlen, die in der Form $\Q q \DEF q_0 + q_k\Q i_k = q_0 +\vec \Q q$ mit drei imaginären Einheiten $\Q i_1, \Q i_2,\Q i_3$ und vier reellen $q_\mu\in\RS$ geschrieben werden können.\\ Für die Einheiten gilt $\Q i_k^2 = -1$ und $\Q i_1 \Q i_2 = -\Q i_2 \Q i_1 =\Q i_3$ (zyklisch), allgemein: $\UL{ \Q i_k \Q i_m = -\delta_{km} + \epsilon_{kmn}\Q i_n}.$\\ Vergleicht man das mit der Multiplikationsregel der drei Pauli-Matrizen $\sigma_k\sigma_m = \delta_{km} +i\epsilon_{kmn} \sigma_n,$ dann sieht man, daß $\fbox \Q i_k \equiv -i\sigma_k$ \FN{ Explizit lautet die isomporphe Matrixdarst. der Q-Einheiten:\\ $\Q i_1 \equiv -i\sigma_1 = {0,-i\choose -i,\;0},\;\Q i_2 \equiv -i\sigma_2 = {0,-1\choose 1,\;0},\;\Q i_3 \equiv -i\sigma_3 = {-i,\,0\choose \;0,\,i} $ } eine isomorphe Abbildung darstellt (Aufgabe: Beweis).\\ Dann gilt $\UL{\Q q = q_0 + \vec \Q q \equiv Q = q_0 -i q_k\sigma_k = q_0 -i\vec q}.$ Diese Matrizen erfüllen $\HC Q = \bar Q,$ sind also eine Erweiterung der unitären Matrizen, und die Quaternionnorm ist gleich der Matrix-Determinante: $|\Q q|^2 \DEF q_\mu^2 = |Q|.$\\ Da sie der Quaternionen-Algebra genügen, nennen wir sie hier quaternionische Matrizen oder kurz Q-Matrizen.
Ihre Matrixdarst. hat die explizite Form $Q = {q_0-iq_3,-iq_1 -q_2\choose -iq_1 + q_2,\;q_0+iq_3}\DEF{\alpha,-\beta^\ast\choose \beta,\;\alpha^\ast}$ mit $\alpha\DEF q_0-iq_3,\; \beta\DEF -iq_1 + q_2\in\CS$ und der Det $|Q| =|\alpha|^2 +|\beta|^2 = |\Q q|^2.$\\ Eine LT, die eine Drehung $T\DEF \cos\VP + i\sin\VP\, \vec e$ im R³ um die Achse $\vec e = e_k\sigma_k$ darstellt (siehe Abs. \ref{secmexp}), wird dann auf die Einheits-Quaternion $T \equiv \Q t \DEF \cos\VP - \sin\VP\, e_k \Q i_k$ abgebildet.\\ Damit ist die bekannte Quaternionenformel für Drehungen im R³ $\vec \Q q' = \Q {t \vec q \bar t}$ für eine Quaternion $\vec \Q q$ äquvalent zur LT-Formel $\vec q' = T \vec q \bar T$ ($q_0$ bleibt invariant).
Die vollständige Algebra der 2x2-Matrizen ist isomorph zur Biquaternionen-Algebra (BiQ schreiben wir hier mit kleinen, fetten griech. Buchstaben, zB $\Q\pi$).\\ Das zeigt die Zerlegung einer allg. Matrix $P$ in quaternionische Anteile: $U\DEF \frac 12(P + \bar \HC P),\, V \DEF \frac 1{2i}(P - \bar \HC P),$ und es gílt $\UL{P = U +iV}$.\\ Da nach Def. $\bar \HC U = U,\, \bar \HC V = V$ gilt, sind $U,V$ Q-Matrizen, die man isomorph auf Quaternionen abbilden kann: $U \equiv \Q u,\, V \equiv \Q v.$\\ Dann definiert die Größe $\UL{\Q\pi \DEF \Q u + i\Q v}$ eine Biquaternion, die isomorph zu $P$ ist $\fbox \Q\pi \equiv P.$ (Die imaginäre Einheit $i$ kommutiert mit allen Quat. $i\Q u =\Q u i,$ da sie mit allen Matrizen kommutiert.)\\ Die Multiplikationsregel für zwei Biq. lautet darum: $\Q\pi_1\Q\pi_2 = (\Q u_1 + i\Q v_1)(\Q u_2 + i\Q v_2) = \Q u_1\Q u_2 - \Q v_1\Q v_2 +i(\Q u_1 \Q v_2+\Q v_1 \Q u_2).$ \\
Die quaternionische Zerlegung ist dann $\Q\pi \DEF \pi_0 + \pi_k\Q i_k \DEF \pi_0 + \vec \Q \pi$ mit den vier $i$-komplexen Größen $\pi_\mu \DEF u_\mu +iv_\mu \in\CS.$ Insofern stellen sie eine natürliche Verallgemeinerung der reellen Quaternionen dar.\\ (Im Unterschied dazu ist ihre Norm jedoch nicht positiv definit: $|\Q \pi|^2 \DEF \sum \pi_\mu^2\in\CS $ ist iA. komplex.)\\ Die Untermenge der Minkowski-Matrizen erfüllt $P = \HC P$ und ihre BiQ-Darstellung entsprechend $\Q \pi = \pi_0 + \pi_k\Q i_k \stackrel != \HC {\Q\pi} = \pi_0^\ast - \pi_k^\ast\Q i_k.$ Folglich ist $\pi_0 \DEF p_0 \in\RS$ reell und die drei Komponenten $\pi_k \DEF ip_k \in i\RS$ rein imaginär.\\ MM haben also die BiQ-Darstellung $\UL{\Q\pi = p_0 + ip_k \Q i_k = p_0 +i\vec \Q p}.$\\
Eine allg. Lorentz-Transformation in BiQ-Form sei $\Q \tau \DEF \Q r +i\Q s\DEF \tau_0 +\vec\Q\tau$ und damit transformiert sich eine MM $\Q \pi$ LT-kovariant: $\Q \pi' = \Q{\tau\pi\tau}^\dagger$\\ Die Det-Bedingung lautet $|\Q\tau| = \Q\tau \bar \Q\tau = (\Q r+ i\Q s)(\bar\Q r+i\bar\Q s) = |\Q r|^2- |\Q s|^2 +i (\Q r\bar\Q s + \Q s\bar\Q r) \stackrel != 1,$ also $|\Q r|^2- |\Q s|^2 \stackrel != 1,\, \Q r\bar\Q s + \Q s\bar\Q r \stackrel != 0,$ bzw mit komplexen Q-Komponenten $|\Q\tau| = \Q\tau \bar \Q\tau = (\tau_0 +\vec\Q\tau)(\tau_0 -\vec\Q\tau) = \tau_0^2 - \vec\Q \tau^2= \tau_0^2 +\sum \tau_k^2 \stackrel != 1.$\\ Für $\Q s = 0$ ergibt sich, wie bekannt, die Untergruppe der R³-Drehungen als reelle Einheits-Q $\Q\tau = \Q r,\, |\Q r|^2 = 1.$\\ Für LT-Boosts gilt $\Q\tau = \Q r +i\Q s \stackrel != \HC{\Q\tau} = \bar \Q r -i\bar \Q s$. Also ist $\Q r = r_0$ skalar und $\Q s = - \bar \Q s$ eine reine Vektor-Q., mit $|\Q s|^2 = r_0^2 -1$
\section{2-Spinoren, Lorentz-Transformationen & Minkowski-Matrizen} \label{Spinoren}Ein 2-Spinor (Weyl-Spinor) kann durch eine Spalten-Matrix $\Psi \DEF {\alpha\choose\beta}$ mit zwei komplexen Zahlen $\alpha,\beta\in\CS$ dargestellt werden.\\ Unter LT transformieren sie sich nach zwei verschiedenen Vorschriften $\fbox \Psi' = T\Psi$ (linkshändige Spinoren) bzw. $\fbox \Phi' = \bar \HC T \Phi.$ (rechtshändige Spinoren)\\ Da für R³-Drehungen $\bar \HC T = T$ gilt, spielt diese Unterscheidung nur für Boosts eine Rolle. Eine Drehung um 360° (dh $T=-1$) ändert – wie bekannt – das Vorzeichen jedes Spinors.\\ Aus den LT-Regeln folgt, daß die Bilinearformen $L\DEF \Psi\HC \Psi$ und $R \DEF \overline{\Phi \HC\Phi},$ die hermitesche 2x2-Matrizen ergeben, MM darstellen (in diesem Fall lichtartige, da $|L| = |R| = 0$, Aufgabe: Beweis).\\ Mit diesem Formalismus läßt sich die Diracgleichung ohne Clifford-Matrizen darstellen.
Die Weyl-Spinoren kann man als 2x2-Spinor-Matrizen verallgemeinern mit $P\DEF (\Psi_1,\Psi_2).$ Dann wirkt eine LT auf beide Spalten $\Psi_k$ unabhängig: $P' = T P = (T \Psi_1, T\Psi_2) = (\Psi_1',\Psi_2').$\\ Daraus läßt sich eine bilineare herm. MM $\fbox M \DEF P\HC P$ ($\HC M =M$) mit korrektem LT-Verhalten $M' = T M\HC T$ bilden.\\ Diese ist wie die Energie-Impuls-MM $K$ (siehe Abs. \ref{sec-mech}) zeit-(licht-)artig: $|M| = ||P||^2\geq 0$ mit Zeitkomponente $m_0 \geq 0.$ \FN{ Lichtartigkeit $|M| = 0$ ergibt sich nur für $|P| = 0$ und $m_0 = 0$ nur im Fall $P=0.$ } \\ Die (nicht umkehrbare) Abbildung $P \to M$ läßt vermuten, daß die Spinor-Matrizen die fundamentalen Objekte der Raumzeit sind.\\ Man kann jedoch für gegebenes herm. $M $ eine Spinor-Matrix $P \DEF H U$ finden, die eine Umkehrformel liefert, wenn man darin $H=\HC H$ (hermitesch) und $U\HC U = I$ (erweitert unitär) ansetzt. Damit fogt $M = P\HC P = H^2.$\\ Diese Gl. ergibt – analog Abs. \ref{sec-ruh} – eine (bis auf das Vz.) eindeutige Lösung für $H$ (und beliebiges $U$):\\ Die Det-Gl. ergibt $|M| = m_0^2-m_k^2 \DEF m^2 \stackrel != |H|^2 = (h_0^2-h_k^2)^2$ und $M = m_0 + m_k\sigma_k \stackrel != H^2 = (h_0 +h_k\sigma_k)^2 = h_0^2 +h_k^2 + 2h_0 h_k\sigma_k.$\\ Mit $ m \stackrel != h_0^2-h_k^2$ und $ m_0 \stackrel != h_0^2+h_k^2$ erhält man $h_0 = \pm \sqrt{\frac {m+m_0} 2}$ und damit $2h_0h_k = \pm\sqrt{2(m+m_0)} h_k \stackrel != m_k.$ Die Lösung ist also $\UL{H = \pm\sqrt{\frac {m+m_0} 2}(I + \frac {m_k}{m+m_0}\sigma_k)}$ (Aufgabe: Probe $H^2 = M$)
\section{Lagrange-Dichte und Variations-Ableitung für Matrizen}Die Lagrange-Dichte ist stets ein Skalar, der als Summe von Spuren von Matrix-Produkten gebildet wird: $\LAGR = \TR (AXB\cdots) + \TR(CDX\cdots) +\cdots $.\\ Um die Variations-Ableitung nach der Matrix $X$ zu berechnen, benutzt man die zyklische Vertauschungs-Regel für die Spur von Produkten und\\ normalisiert sie zu $\UL{\LAGR(X)} = \TR (XB\cdots A) + \TR(X\cdots CD) +\cdots = \UL{\TR (X Y)}$ mit der Matrix $Y\DEF B\cdots A + \cdots CD + \cdots$\\ Es sei $X \DEF x_\mu \sigma_\mu, \; Y \DEF y_\mu \sigma_\mu$. Die Variations-Ableitung nach $x_\mu$ ist dann $ \frac {\partial \LAGR}{\partial x_\mu} = \frac {\partial}{\partial x_\mu} (x_\mu\TR(\sigma_\mu Y)) = \TR(\sigma_\mu Y) = y_\nu \TR(\sigma_\mu \sigma_\nu) = y_\nu 2\delta_{\mu\nu}= 2y_\mu$ und damit $\sigma_\mu\frac {\partial \LAGR}{\partial x_\mu} = 2 \sigma_\mu y_\mu = 2 Y$.\\ Wir definieren also $\UL{\frac {\partial \LAGR} {\partial X} \DEF \frac 12\sigma_\mu\frac {\partial \LAGR}{\partial x_\mu}}$ und erhalten $ \UL{ \frac {\partial \TR (X Y)}{\partial X} = Y}.$ (Der Faktor $\frac 12$ ist eine Konvention, die keine direkte Auswirkung hat, da die Euler-Lagrange-Gln stets homogen sind.)\\ Falls $X$ auch in $Y$ auftaucht (bilineare Formen), muß das für jeden Faktor einzeln erfolgen (Produktregel).\\ Analoges gilt für das skalare Produkt von Spinoren, zB für $\LAGR = \HC\Phi \Psi =$skalar, wird definiert $\frac {\partial \LAGR}{\partial \HC\Phi} = \Psi.$