Auf dieser Seite zeigen wir, daß alle Größen und Gleichungen der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) mit 2x2-Matrizen dargestellt werden können.\\ Diese Form ist wesentlich einfacher und benötigt weniger Annahmen als die konventionelle Vierervektor-Darstellung (siehe Abs. \ref{secvergl}) \section{Formelnotationen}
Wir benutzen relativistische Einheiten mit $c=1$ (d.h. 1 μs ≡ 300 m), alle Geschwindigkeiten sind deshalb dimensionslose Zahlen im Bereich $v \in [-1,+1]$.\\
Außerdem verwenden wir die Einsteinsche Summenkonvention: Über doppelt auftretende Indizes in Produkten wird implizit summiert: $a_k b_k \DEF \sum_k a_k b_k$ und analog $a_k^2 \DEF \sum_k a_k^2$ (außer bei Einheiten-Gln.: zB. $\sigma_\mu^2 = I$ gilt für alle $\mu$).\\
Für die Indizes benutzen wir griech. und lat. Buchstaben als $\mu,\nu,\dots =0,\dots, 3 $ (Raumzeit) bzw. $ j,k,l,\dots = 1,2,3$ (nur Raum).\\ Matrizen werden idR. durch große lateinische Buchstaben $A,B,\dots$ dargestellt. Ausnahmen: die Pauli-Matrizen $\sigma_\mu,$ und R³-Vektoren in Matrixform schreiben wir zur Abkürzung auch als $c_k\sigma_k\DEF \vec c.$\\ Wo Mißverständnisse ausgeschlossen sind, lassen wir in Matrixgleichungen ggf. die Einheitsmatrix $I$ weg, wie z.B. in $ C\DEF c_0 [I] + c_k\sigma_k $ als Faktor der skalaren Komponente $c_0$.\\ Reelle Größen werden idR durch kleine lat. Buchstaben $a,b,\dots$ (Ausnahmen: der Winkel $\VP$, das Kronecker-Delta $\delta_{ij} = \{0,1\}$ und der vollständig antisymmetrische Tensor $\epsilon_{ijk} = \{-1,0,+1\}$\FN{ Er hat 3³ = 27 Komponenten, von denen nur 6 ungleich Null sind: $\epsilon_{123}=1,\;\epsilon_{213} =-1$. Die anderen 4 ergeben sich durch zyklische Vertauschung der Indizes. } ),\\ komplexe Größen durch griech. Buchst. $\alpha,\beta,\dots$ und Quaternionen durch fette lat. Buchst $\Q q,\Q u\dots$ dargestellt.
\section{Vergleich der Matrixdarstellung mit konventioneller Vierervektor-Darstellung} \label{secvergl} Die Matrixdarst. reproduziert alle Ergebnisse der SRT, benötigt aber wesentlich weniger Annahmen und ist deutlich kompakter (siehe zB. Abs. \ref{sec-mech}).\\ Im Einzelnen hat sie folgende heuristischen Vorzüge:Es sei eine beliebige 2x2-Matrix $P \DEF {\alpha,\gamma\choose\beta,\delta}$ aus 4 komplexen Zahlen $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\CS$ gegeben.\\ Dann ist ihre Adjunkte ('bar'-Operation) definiert als $\bar P \DEF {\;\delta,-\gamma\choose-\beta,\;\alpha}.$ Diese Operation ist nur für 2x2-Matrizen linear.\\ Dafür gilt trivial $\bar P P = P\bar P = |P| I$ mit der Determinante $|P| \DEF\alpha\delta - \beta\gamma,$ der Einheitsmatrix $I\DEF {1,0\choose 0,1}$ und der Matrix-Inversen $ P^{-1} =\frac{ \bar P}{|P|} .$\\ $\TR(P) \DEF \alpha+\delta =\TR (\bar P)$ ist die Spur der Matrix $P$ und dafür folgt $P+\bar P= \TR(P) I$ und $\TR(P\bar P) = 2|P|.$ Für die Spur gilt eine zyklische Vertauschungsregel: $\TR( AB\cdots X) = \TR(B\cdots X A)$.\\ Die hermitesch konjugierte Matrix ('dagger'-Operation) ist $P^\dagger \DEF {\alpha^\ast,\beta^\ast \choose\gamma^\ast,\delta^\ast} $ als Kombination von komplex konjugierter und transponierter Matrix.\\ Es gelten folgende allg. Regeln für Produkte: $\overline{(P_1 P_2)} = \bar P_2\bar P_1$ und $(P_1 P_2)^\dagger = P_2^\dagger P_1^\dagger$ (Involution mit Vertauschung der Faktoren); und $\overline{(\bar P)} = P$ und $\HC{(P^\dagger)} = P.$
\section{Pauli-Basis & Minkowski-Metrik} \label{sec-metrik} Die drei Pauli-Matrizen $ \sigma_1 \DEF {0,1\choose 1,0},\; \sigma_2 \DEF {0,-i\choose i,\;0},\; \sigma_3 \DEF {1,\;0\choose 0,-1}$ sind hermitesch: $\sigma_k^\dagger =\sigma_k $. Zusätzlich definieren wir $ \UL{\sigma_0 \DEF I} $ als ebenfalls hermitesche vierte Basismatrix.\\ Damit gilt $\sigma_\mu^2 = I,\; \sigma_\mu^\dagger =\sigma_\mu $, $ \bar\sigma_0 = \sigma_0,\;\bar\sigma_k = -\sigma_k $, $ \sigma_1\sigma_2 = -\sigma_2\sigma_1 = i\sigma_3$ usw. (123-zyklisch).\\ Allgemein gilt demnach für das Produkt zweier Pauli-Matrizen $\UL{\sigma_i\sigma_j = \delta_{ij} +i\epsilon_{ijk} \sigma_k}$ mit dem vollständig antisymm. Tensor $\epsilon_{ijk}$.\FN{ Mit den Regeln $\epsilon_{mkl}\epsilon_{lnj} = \delta_{mn}\delta_{kj} -\delta_{mj}\delta_{kn}$ (nur die Summanden, für die $m=n, k=j$ oder $m=j,k=n$ ist, verschwinden nicht) folgt das allg. Pauli-Triple-Produkt\\ $ \UL{\sigma_m\sigma_k\sigma_n} = (\sigma_m\sigma_k)\sigma_n = (\delta_{mk}I + i\epsilon_{mkl}\sigma_l)\sigma_n = \delta_{mk}\sigma_n + i\epsilon_{mkl}(\delta_{ln} + i\epsilon_{lnj}\sigma_j) $ $ = \delta_{mk}\sigma_n + i\epsilon_{mkn}I - \epsilon_{mkl}\epsilon_{lnj}\sigma_j = \UL{\delta_{mk}\sigma_n - \delta_{mn}\sigma_k +\delta_{kn}\sigma_m + i\epsilon_{mkn} I} $\\ Als Probe (insbes. Vz) genügen die vier Kombinationen mkn = 111, 121, 122, 123 } Daraus folgt eine Orthogonalitäts-Relation $\UL{\TR (\sigma_\mu\sigma_\nu) = 2\delta_{\mu\nu}}$, da $\TR(\sigma_0) = 2 $ und $\TR(\sigma_k) = 0$.\\ Die vier Matrizen $\sigma_\mu$ bilden eine Basis im Vektorraum der komplexen 2x2-Matrizen, dh. jede Matrix $P\in\CS^{2x2} $ kann in der Form $\fbox P \DEF {\alpha,\gamma\choose\beta,\delta} \DEF p_\mu\sigma_\mu = {p_0+p_3,p_1-ip_2\choose p_1+ip_2,p_0-p_3} $ mit vier komplexen Zahlen $p_\mu\in\CS$ dargestellt werden.\\ Die Lösung ist trivial $\UL{p_0 =\frac 12(\alpha+\delta),\; p_3 =\frac 12(\alpha-\delta),\; p_1 = \frac 12(\beta+\gamma),\; p_2 = \frac 1{2i}(\beta-\gamma)}.$ Damit ist die Abbildung des damit definierten 4-Vektors $(p_0,\dots,p_3) \Leftrightarrow P$ eineindeutig.\\ Die vier Basis-Matrizen erzeugen außerdem eine Minkowski-Metrik $\eta^{\mu\nu} = [1,-1,-1,-1]$ (als 4x4-Diagonal-Matrix) mittels $\TR(\sigma_\mu\bar\sigma_\nu) = 2\eta^{\mu\nu} $, wie aus obigen Formeln leicht zu zeigen ist.\\ Damit ist das lorentz-invariante Skalarprodukt ist auch für komplexe 4-Vektoren $a_\mu,b_\mu\in \CS^4$ mit $A\DEF a_\mu\sigma_\mu,\; B \DEF b_\mu\sigma_\mu$ definiert als $\fbox \, a_\mu b^\mu = a_\mu b_\nu \eta^{\mu\nu} \DEF \frac 12\TR(A\bar B) = a_0 b_0 -a_k b_k,\,$ da $\TR(A\bar B) = \TR( a_\mu \sigma_\mu b_\nu \bar \sigma_\nu) = a_\mu b_\nu \TR(\sigma_\mu\bar \sigma_\nu) = 2 a_\mu b_\nu \eta^{\mu\nu}.$ \section{Minkowski-Matrizen & Lorentz-Transformationen} \label{sec-lt}Minkowski-Vektoren $m_\mu\in \RS^4$ werden mit $\UL{M \DEF m_\mu\sigma_\mu}$ eineindeutig auf Matrizen $M$ abgebildet. Wegen der Hermitezität der Basis gilt $\UL{M^\dagger} = m_\mu^\ast \HC \sigma_\mu = m_\mu \sigma_\mu = \UL {M},$ sie sind also hermitesche Matrizen. \\ Wir bezeichnen diese Matrizen hier als Minkowski-Matrizen (MM).\\ Sie haben die explizite Matrixform $M = {a,\, \eta^\ast \choose \eta,\, b},$ mit reellen Diagonalelementen $a \DEF m_0+m_3,\, b \DEF m_0 -m_3 \in\RS$ und komplexem $\eta \DEF m_1+im_2\in \CS$.\\ Die (ebenfalls reelle) Determinante $|M| = m_0^2 -m_k^2 = ab - |\eta|^2 =m_\mu m_\nu \eta^{\mu\nu}$ ist die Lorentz-Invariante, also gilt $|M|$ > $0$ für zeitartige, $|M|$ < $0$ für raumartige und $|M| = 0$ für lichtartige Vektoren.\\ Für Minkwoski-Matrizen bewirkt die bar-Operation $M\to \bar M $ offensichtlich eine Raum-Spiegelung (aller drei Koordinaten $m_k\to -m_k$) bei ungeänderter Zeitkomponente $m_0$.\\
Eine Lorentz-Transformation (LT) wird mit einer unimodularen Matrix $T\in \CS^{2x2},\; |T|=1$ beschrieben, mit $\fbox\, M\to M' = TM \HC T\, (*)\,$.\\ Eine solche Matrix $T$ hat drei komplexe (= 6 reelle) Freiheitsgrade, die die drei R3-Drehwinkel & die drei echten RZ-Transformationen (boosts) darstellen.\\ Hermitezität $\HC{M'} = (TM \HC T)^\dagger = TM \HC T = M'$ und Invariante $|M'| = |T M \HC T| = |T| |M| | \HC T| = |M| $ bleiben dafür erhalten, da auch $ | \HC T| = |T|^\ast = 1 $. Die bar-Matrix $\bar M$ transformiert sich folglich mit $\bar M' = \overline{(TM \HC T) } = \bar \HC T \bar M\, \bar T.$\\ Die Umkehrformel $M'\to M$ ergibt sich durch beidseitige Multipl. von $\bar T(*)\bar \HC T$ zu $ M = \bar T M' \bar \HC T $.
Die Gruppe aller $T$ bildet eine Doppel-Darstellung der Lorentz-Gruppe, da $T' = -T$ dieselbe LT wie $T$ beschreibt.\\ Die Gruppe heißt $SL(2,\CS)$ spezielle lineare Gruppe (Wikipedia) (vom Grad 2 über dem Körper der komplexen Zahlen).\\ Eine wichtige Untergruppe sind die unitären Matrizen $SU(2,\CS) \subset SL(2,\CS),$ für die zusätzlich gilt $\bar T = \HC T.$ Da sie die skalare (Zeit-)Komponente $m_0$ invariant lassen, stellen sie die R3-Rotationen dar.\\ Sie sind isomorph zu den Einheits-Quaternionen, die die bekannte Formel für quaternionische Drehungsoperationen im R3 erzeugen (siehe Abs. \ref{secmexp}).
Die explizite Darst einer bel. LT lautet $T \DEF t_0 +t_k\sigma_k$ mit $|T| = t_0^2 -t_k^2 = 1,$ also $t_0 = \pm\sqrt{1+t_k^2}.$ Für LT-Boosts ($T=\HC T$) sind alle $t_k = t_k^\ast \in\RS$ reell, und für R³-Drehungen ($\bar T=\HC T$) imaginär: $t_k^\ast = -t_k.$ $t_0\in \RS $ ist immer reell.
\section{Produkte von Minkowski-Matrizen} \label{secprod} Die Algebra der Matrizen erlaubt prinzipiell die Bildung beliebiger Produkte $C \DEF A B.$ Diese sind aber nicht LT-kovariant, wenn $A,B$ MM sind, denn $C' = A'B' = TA\UB{\HC T T}_{\neq 1} B \HC T$ ergibt keinen kovarianten Ausdruck.\\ Kovariant sind nur 'alternierende' Produkte der Form $C \DEF A \bar B$ (analog $D\DEF \bar A B$), denn dafür gilt $\UL{C'} = A'\bar B' = TA\UB{\HC T \bar \HC T}_{=I} \bar B\, \bar T = TA\bar B\, \bar T = \UL{T C \bar T}.$ (Das läßt sich beliebig fortsetzen, zB $X \DEF A\bar B C\dots$)\\ Diese haben 4 Komponenten $C \DEF c_\mu\sigma_\mu = c_0 +c_k\sigma_k \DEF c_0 +\vec c,$ wobei $c_0\in\RS,\; c_k \in \CS,$ und wie beschrieben, ein anderes LT-Verhalten als MM.\\ Die skalare (Zeit-)Komponente $c_0 =\frac 12\TR(C+\bar C) = a_0b_0 -a_kb_k\in \RS $ ist das reelle, invariante Skalarprodukt, und die spurfreie 3-Vektor-Matrix $\vec c =\frac 12(C-\bar C) =\frac 12(A\bar B - B\bar A)$ transformiert sich unabhängig davon: $\vec c' = T \vec c\bar T,$\\ wobei ihre komplexe Determinante $|\vec c'| = |\vec c| = c_k^2$ ebenfalls trivial invariant ist. (Da die $c_k$ komplex sind, kann die Det. auch Null werden, dann ist $\vec c$ eine nil-potente Matrix.) \\ Explizit ist $c_k = \UB{a_0b_k -a_kb_0}_{\DEF u_k} +i\UB{\epsilon_{mkl} b_k a_l}_{\DEF v_k}\DEF u_k +iv_k$ mit Real- und Imaginärteil $u_k,v_k$. Daraus folgt, daß $\vec u$ ein polarer (linear in $a_k,b_k$) und $\vec v$ ein axialer (bilinear in $a_k,b_k$) Vektor ist.\\ Bei R³-Drehungen ($\bar T = \HC T$) transformieren sich beide Vektoren separat wie gewöhnliche Vektoren $\vec u' = T\vec u \HC T,\; \vec v' = T\vec v \HC T,$ werden jedoch bei Boosts ($T = \HC T$) gemischt. \\ Wir zeigen das am Beispiel einer beliebigen LT in z-Richtung $T \DEF t_0 +t_3\sigma_3$. Mit $\sigma_3\sigma_k = \pm \sigma_k\sigma_3$ folgt: \[\vec c' = T\vec c \bar T = (t_0 +t_3\sigma_3)(c_k\sigma_k)(t_0 -t_3\sigma_3) = (c_1\sigma_1+c_2\sigma_2)(t_0 -t_3\sigma_3)(t_0 -t_3\sigma_3) +c_3\sigma_3\UB{(t_0 +t_3\sigma_3)(t_0 - t_3\sigma_3)}_{=1} = (c_1\sigma_1+c_2\sigma_2)(t_0^2 +t_3^2 - 2t_0t_3\sigma_3) + c_3\sigma_3 = (t_0^2 +t_3^2) (c_1\sigma_1+c_2\sigma_2)+ 2i t_0t_3(c_1\sigma_2 - c_2\sigma_1) + c_3\sigma_3 \DEF c_k'\sigma_k \] Wir erhalten damit $c_1' = (t_0^2 +t_3^2) c_1 -2i t_0t_3 c_2,\; c_2' = (t_0^2 +t_3^2) c_2 +2i t_0t_3 c_1,\; c_3' = c_3.$ Die Substitution $t_0 = \cosh\frac\lambda 2,\; t_3 = \sinh\frac\lambda 2$ (sie erfüllt $|T| = t_0^2 -t_3^2 =1$) ergibt $ t_0^2 +t_3^2 = \cosh \lambda,\; 2 t_0t_3 = \sinh \lambda,$\\ also $\UL{c_1' = \cosh \lambda c_1 -i\sinh \lambda c_2,\; c_2' = \cosh \lambda c_2 +i\sinh \lambda c_1},$ $c_3$ bleibt invariant.\\ Wenn hier $\lambda \DEF i\VP\in i\RS$ imaginär ist, ist das wegen $\cosh \lambda = \cos\VP,\; \sinh\lambda = i\sin\VP$ eine einfache R³-Drehung um die z-Achse um den Winkel $\VP$: $c_1' = \cos \VP c_1 +\sin\VP c_2,\; c_2' = \cos \VP c_2 - \sin \VP c_1$.\\ Für $\lambda\in \RS $ reell stellt T einen LT-Boost dar, bei dem sich Real- und Imaginärteile mischen, zB $u_1' = \Re(c_1') = \cosh \lambda u_1 + \sinh \lambda v_2,\; v_1' = \Im(c_1') = \cosh \lambda v_1 - \sinh \lambda u_2$ \\ Zum Vergleich betrachten wir die Vektordarstellung.\\ Hier kennen wir das Tensorprodukt $c_{\mu\nu} \DEF a_\mu b_\nu \in\RS$ mit 16 reellen Komponenten. Man kann es zerlegen in symmetrischen und antisymm. Anteil (10 + 6 Komp).\\ % $c_{\mu\nu} \DEF s_{\mu\nu} + a_{\mu\nu},$ Vom symm. Anteil hat nur das invariante Skalarprodukt $c_{\mu\nu} \eta^{\mu\nu}$ physikalische Bedeutung. Der physikalisch relevante, antisymm. Anteil wird jedoch durch den Vektoranteil von $A\bar B$ dargestellt.\\ ZB. ist der relativist. Drehimpuls der antisymm. Anteil des Produkts aus Raumzeitvektor $x_\mu$ und Energie-Impulsvektor $k_\mu$: $l_{\mu\nu}\DEF x_\mu k_\nu - x_\nu k_\mu.$ Dieser entspricht genau dem Vektoranteil des Produkts $L \DEF X\bar K.$\FN{ Der skalare Anteil $l_0 = x_0k_0 - x_m k_m$ ist das invariante Skalarprodukt. }\\ Beweis: $L \DEF l_0 +l_m\sigma_m = X\bar K =(x_0 +x_k\sigma_k)(k_0 - k_m\sigma_m) =\UB{x_0k_0 - x_m k_m}_{l_0} + \UB{(x_m k_0 - x_0 k_m -i\epsilon_{mkl} x_k k_l)}_{l_m}\sigma_m$ ergibt $l_m = x_m k_0 - x_0 k_m -i\epsilon_{mkl} x_k k_l = l_{m0} -i \epsilon_{mkl}l_{kl}$ Die Abb $l_m \Leftrightarrow l_{\mu\nu}$ ist damit eineindeutig, qed.\FN{ Eine analoge Beziehung gilt für die em Feldstärke-Matrix $F$. Diese wird aus den Feldern $E,B$ gebildet mit $F \DEF E +iB.$ } \section{Relativistische Mechanik in Matrixform} \label{sec-mech}Wir betrachten einen Massenpunkt mit Ruhmasse $m$, der sich auf einer Trajektorie $X(\tau) = x_0 + x_k\sigma_k \DEF t+\vec x$ (als Raumzeitkoordinate im MR) bewegt, mit der invarianten Eigenzeit $\tau$ als Bahnparameter.\\ Die Grundgleichungen der Kinematik der SRT lauten dafür in Matrixform – mit $V$ als Geschwindigkeits-MM, $K$ als Energie-Impuls-MM und $F$ als Viererkraft-MM: \[ \UL{dX = Vd\tau\; (1),\quad K \DEF mV\;(2), \quad dK = Fd\tau\;(3) } \] Damit lautet das Grundgesetz der relativist. Mechanik $\fbox \frac {d}{d\tau} K =m\frac {d^2}{d\tau^2} X = F$ analog dem zweiten Newtonschen Gesetz. Alle Gleichungen sind trivial lorentz- und spiegel-kovariant.\\ Die Normierung von $V$ auf die Eigenzeit ergibt $|V|=1.$ Aus Gl. $(2)$ folgt damit $ |K| = m^2 $ und Massenerhaltung erfordert $ d |K| = d (K\bar K) = dK\bar K + Kd\bar K = m d\tau(F\bar V + V\bar F) \stackrel != 0 $ also sind $F,V$ orthogonal: $\TR(F\bar V) = 0$\\ Für masselose, lichtartige T. gibt es wegen $|V| = 0$ natürl. kein Ruhsystem und keine Eigenzeit.
\section{Ruhsysteme}In einem Ruhsystem (bezüglich eines Massenpunktes) gilt $\vec v = 0$ also $V \DEF v_0 +\vec v = I,$ und demzufolge wegen $dX \DEF dx_0 +d\vec x = Vd\tau,\; \UL{dx_0 \DEF dt = d\tau},\; d\vec x = 0$ (das ist die Def. der Eigenzeit)\\ Ein solches Koordinatensystem ist natürl. nicht eindeutig bestimmt, denn eine R³-Drehung ändert $V$ nicht: $V' = TV\bar T = TI\bar T = I.$\\ Wir suchen nun eine Boost-LT ($T= \HC T$), die ein gegebenes $V$ in ein Ruhsystem transformiert. Das ist im Matrixformalismus sehr einfach zu lösen:\\ Dafür muß gelten $\UL{TVT = I},$ also $V =\bar T I \bar T= (\bar T)^2$. Das ergibt $V\DEF v_0 + v_k\sigma_k \stackrel != (\bar T)^2 = (t_0-t_k\sigma_k)^2 = t_0^2 + t_k^2 -2t_0 t_k\sigma_k,$ also ergibt der Komponentenvergleich $v_0 \stackrel != t_0^2 + t_k^2,\; v_k \stackrel != -2t_0 t_k$\\ Mit der Bedingung $ |T| = t_0^2 -t_k^2 = 1$ folgt sofort $v_0 = 2t_0^2 +1,$ also $t_0 = \pm \sqrt {\frac {v_0+1}2}$ und $t_k = -\frac{v_k}{2t_0} = -\frac{v_k}{\pm \sqrt {2 (v_0+1)}$ und damit schließlich die gesuchte Boost-LT $\UL{T = \pm \sqrt {\frac {v_0+1}2}(I - \frac {v_k \sigma_k}{v_0+1})}$
\section{Matrix-Exponentialfunktionen & Lorentz-Transformationen} \label{secmexp}Es sei $Z \DEF z_\mu \sigma_\mu = z_0 +z_k\sigma_k \DEF z_0 +\vec z$ eine Matrix mit beliebigen komplexen Koeffizienten $z_\mu \in \CS$. Eine (i.A. komplexe) 'Norm' von $\vec z$ sei def. als $\lambda^2 \DEF \vec z^2 = \sum_k z_k^2,\; \lambda \in \CS $.\\ Wenn $\lambda \neq 0$ ist, kann man einen 'Einheitsvektor' (er erfüllt $\vec e^2 = 1$) definieren: $e_k \DEF \frac {z_k}\lambda$\FN{ $\lambda$ und $\vec e$ sind damit nur bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt, man kann aber zB. festlegen, daß $\Re(\lambda) \geq 0$ gelten soll. } Dann gilt $\vec z = \lambda\vec e $.\\ Wir definieren nun eine Matrix-Exponentialfunktion $E(Z) \DEF e^Z = e^{z_0 + \vec z} = e^{z_0 + \lambda\vec e} = e^{z_0}\, e^{\lambda\vec e} $ (mit skalarem Faktor $ e^{z_0}$) durch die Reihenentwicklung $ e^{\lambda\vec e} = I + \lambda \vec e + \frac 1{2!}(\lambda\vec e)^2 + \frac 1{3!}(\lambda\vec e)^3 + \cdots = (1 + \frac 1{2!}\lambda^2 +\cdots)I + (\lambda + \frac 1{3!}\lambda^3 +\cdots)\vec e = \UL{\cosh\lambda + \sinh\lambda\cdot \vec e}$.\FN{ Eine solche Def ist natürl. nur für dimensionslose (Zahlen-)Matrizen $Z$ sinnvoll, da man Potenzen von dimensionsbehafteten Größen nicht addieren kann.\\ }\\ Zu beachten ist, daß man – wegen der Nichtkommutativität der Matrixmultiplikation – die Argumente zweier Exponentialfunktionen i.A. nicht addieren darf: $e^{X} e^{Y} \neq e^{X+Y}$, wenn $XY\neq YX$.\\ Es gilt jedoch ein Additionstheorem für Exponentialfunktionen mit gleichem $\vec e$: \[ \UL{E(\lambda_1 \vec e)E(\lambda_2 \vec e)} = (\cosh\lambda_1 + \sinh\lambda_1 \vec e)(\cosh\lambda_2 + \sinh\lambda_2 \vec e) = \cosh\lambda_1 \cosh\lambda_2 + \sinh\lambda_1 \sinh\lambda_2 +(\cosh\lambda_1\sinh\lambda_2 +\cosh\lambda_2\sinh\lambda_1)\vec e = \cosh(\lambda_1 +\lambda_2) + \sinh(\lambda_1 +\lambda_2)\vec e = \UL{E((\lambda_1+\lambda_2) \vec e)} \] $E(Z) = E(z_0,\lambda,\vec e)$ ist eine holomorphe Funktion der zwei komplexen Argumente $z_0,\lambda$, und es gilt $|E| = e^{Z}e^{\bar Z} = e^{Z + \bar Z} = e^{2z_0}$ ($Z,\bar Z$ kommutieren).\\ Ein einfaches Beispiel ist $\vec e = \sigma_3$ also $\vec z = \lambda\sigma_3 = {\lambda,\;0\choose 0, \, -\lambda$, was ergibt $E(\vec z) = e^{\lambda\sigma_3} = \cosh\lambda + \sinh\lambda\sigma_3 = { \cosh\lambda + \sinh\lambda,\quad 0\quad \choose \quad 0,\quad \cosh\lambda - \sinh\lambda} = {e^\lambda,\,0\choose 0, \, e^{-\lambda}$ \\ Speziell für $z_0 = 0$ ist $T \DEF E(\vec z) = e^{\vec z} = e^{\lambda \vec e} $ unimodular: $|T| = 1,$ stellt also eine LT dar. (Damit sind alle LT darstellbar, weil $\vec z$ drei komplexe = 6 reelle Freiheitsgrade hat.)
Wenn $\vec e$ ein reeller Vektor ist (alle $e_k \in \RS$), gilt $\HC T = \HC{(e^{\lambda \vec e})} = e^{\HC{(\lambda \vec e)}} = e^{\lambda^\ast \vec e}.$
'Reelle' Quaternionen sind hyperkomplexe Zahlen, die in der Form $\Q q \DEF q_0 + q_k\Q i_k = q_0 +\vec \Q q$ mit drei imaginären Einheiten $\Q i_1, \Q i_2,\Q i_3$ und vier reellen $q_\mu\in\RS$ geschrieben werden können.\\ Für die Einheiten gilt $\Q i_k^2 = -1$ und $\Q i_1 \Q i_2 = -\Q i_2 \Q i_1 =\Q i_3$ (zyklisch), allgemein: $\UL{ \Q i_k \Q i_m = -\delta_{km} + \epsilon_{kmn}\Q i_n}.$\\ Vergleicht man das mit der Multiplikationsregel der drei Pauli-Matrizen $\sigma_k\sigma_m = \delta_{km} +i\epsilon_{kmn} \sigma_n,$ dann folgt, daß $\fbox \Q i_k \equiv -i\sigma_k$ eine Isomorphie darstellt.\\ Dann gilt $\UL{\Q q \equiv Q = q_0 -i q_k\sigma_k = q_0 -i\vec q}.$ Diese Matrizen erfüllen $\HC Q = \bar Q,$ sind also eine Erweiterung der unitären Matrizen, und die Quaternionnorm ist gleich der Matrix-Determinante: $|\Q q|^2 \DEF q_\mu^2 = |Q|.$\\ Da sie der Quaternionen-Algebra genügen, nennen wir sie hier quaternionische Matrizen oder kurz Q-Matrizen.
Ihre Matrixdarst. hat die explizite Form $Q = {q_0-iq_3,-iq_1 -q_2\choose -iq_1 + q_2,\;q_0+iq_3}\DEF{\alpha,-\beta^\ast\choose \beta,\;\alpha^\ast}$ mit $\alpha\DEF q_0-iq_3,\; \beta\DEF -iq_1 + q_2\in\CS$ und der Det $|Q| =|\alpha|^2 +|\beta|^2 = |\Q q|^2.$\\ Eine LT, die eine Drehung $T\DEF \cos\VP + i\sin\VP\, \vec e$ im R³ um die Achse $\vec e = e_k\sigma_k$ darstellt (siehe Abs. \ref{secmexp}), wird dann auf die Einheits-Quaternion $T \equiv \Q t \DEF \cos\VP - \sin\VP\, e_k \Q i_k$ abgebildet.\\ Damit ist die bekannte Quaternionenformel für Drehungen im R³ $\vec \Q q' = \Q {t \vec q \bar t}$ für eine Quaternion $\vec \Q q$ äquvalent zur LT-Formel $\vec q' = T \vec q \bar T$ ($q_0$ bleibt invariant).
Ergänzung:Die vollständige Algebra der 2x2-Matrizen ist isomorph zur Biquaternionen-Algebra. Das zeigt die Zerlegung einer allg. Matrix $P$ in quaternionische Anteile: $U\DEF \frac 12(P + \bar \HC P),\, V \DEF \frac 1{2i}(P - \bar \HC P).$\\ Da $\bar \HC U = U,\, \bar \HC V = V$ gilt, sind $U,V$ Q-Matrizen, und es gílt $\UL{P = U +iV}$ und $\bar \HC P = U-iV.$\\ Man kann $U,V$ also isomorph auf Quaternionen abbilden: $U \equiv \Q u,\, V \equiv \Q v.$ Dann ist definiert die Größe $\UL{\Q\pi \DEF \Q u + i\Q v}$ eine Biquaternion, die isomorph zu $P$ ist $\fbox \Q\pi \equiv P.$\\ Die quaternionische Zerlegung ist dann $\Q\pi \DEF \pi_0 + \pi_k\Q i_k \DEF \pi_0 +i\vec \Q \pi$ mit den vier $i$-komplexen Größen $\pi_\mu \DEF u_\mu +iv_\mu \in\CS.$ Insofern stellen sie eine natürliche Verallg. der reellen Quaternionen dar.\\ (Im Unterschied dazu ist ihre Norm jedoch nicht positiv definit $|\Q \pi|^2 \DEF \sum \pi_\mu^2\in\CS $ ist iA. komplex.)\\ Die Multiplikationsregel für zwei Biq. lautet: $\Q\pi_1\Q\pi_2 = (\Q u_1 + i\Q v_1)(\Q u_2 + i\Q v_2) = \Q u_1\Q u_2 - \Q v_1\Q v_2 +i(\Q u_1 \Q v_2+\Q v_1 \Q u_2).$ (Die imag. Einheit $i$ kommutiert mit allen Quat $i\Q u =\Q u i,$ da sie mit allen Matrizen kommutiert.)\\ Die Untermenge der Minkowski-Matrizen erfüllt $P = \HC P$ und ihre Biq-Darstellung entsprechend $\Q \pi = \pi_0 + \pi_k\Q i_k \stackrel != \HC {\Q\pi} = \pi_0^\ast - \pi_k^\ast\Q i_k.$ Folglich ist $\pi_0 \DEF p_0 \in\RS$ reell und die drei Komponenten $\pi_k \DEF ip_k \in i\RS$ rein imaginär.\\ MM haben also die BiQ-Darstellung $\UL{\Q\pi = p_0 + ip_k \Q i_k = p_0 +i\vec \Q p}.$
\section{2-Spinoren, Lorentz-Transformationen & Minkowski-Matrizen } \label{Spinoren} Ein 2-Spinor (Weyl-Spinor) kann durch eine Spalten-Matrix $\Psi \DEF {\alpha\choose\beta}$ mit zwei komplexen Zahlen $\alpha,\beta\in\CS$ dargestellt werden.\\ Unter LT transformieren sie sich nach zwei verschiedenen Vorschriften $\Psi' = T\Psi$ (linkshändige Sp.) bzw. $\Phi' = \bar \HC T \Phi.$ (rechtshändige Sp.)\\ Da für R³-Drehungen $\bar \HC T = T$ gilt, spielt diese Unterscheidung nur für Boosts eine Rolle. Eine Drehung um 360° (dh $T=-1$) ändert – wie bekannt – das Vorzeichen jedes Spinors.\\ Aus den LT-Regeln folgt, daß die Bilinearformen $L\DEF \Psi\HC \Psi$ und $R \DEF \overline{\Phi \HC\Phi},$ die hermitesche 2x2-Matrizen ergeben, MM darstellen \section{Lagrange-Dichte und Variations-Ableitung für Matrizen}Die Lagrange-Dichte ist stets ein Skalar, der als Summe von Spuren von Matrix-Produkten gebildet wird: $\LAGR = \TR (AXB\cdots) + \TR(CDX\cdots) +\cdots $. Um die Variations-Ableitung nach der Matrix $X$ zu berechnen, benutzt man die zyklische Vertauschungs-Regel für die Spur von Produkten und normalisiert sie zu $\UL{\LAGR(X)} = \TR (XB\cdots A) + \TR(X\cdots CD) +\cdots = \UL{\TR (X Y)}$ mit der Matrix $Y\DEF B\cdots A + \cdots CD + \cdots$\\ Es sei $X \DEF x_\mu \sigma_\mu, \; Y \DEF y_\mu \sigma_\mu$. Die Variations-Ableitung nach $x_\mu$ ist dann $ \frac {\partial \LAGR}{\partial x_\mu} = \frac {\partial}{\partial x_\mu} (x_\mu\TR(\sigma_\mu Y)) = \TR(\sigma_\mu Y) = y_\nu \TR(\sigma_\mu \sigma_\nu) = y_\nu 2\delta_{\mu\nu}= 2y_\mu$ und damit $\sigma_\mu\frac {\partial \LAGR}{\partial x_\mu} = 2 \sigma_\mu y_\mu = 2 Y$. Wir definieren also $\UL{\frac {\partial \LAGR} {\partial X} \DEF \frac 12\sigma_\mu\frac {\partial \LAGR}{\partial x_\mu}}$ und erhalten $ \UL{ \frac {\partial \TR (X Y)}{\partial X} = Y}.$ (Der Faktor $\frac 12$ ist eine Konvention, die keine direkte Auswirkung hat, da die Euler-Lagrange-Gln stets homogen sind.)\\ Falls $X$ auch in $Y$ auftaucht (bilineare Formen), muß das für jeden Faktor einzeln erfolgen (Produktregel).\\ Analoges gilt für das skalare Produkt von Spinoren, zB für $\LAGR = \HC\Phi \Psi =$skalar, wird definiert $\frac {\partial \LAGR}{\partial \HC\Phi} = \Psi.$