Auf dieser Seite zeigen wir, daß alle Größen und Gleichungen der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) mit 2x2-Matrizen dargestellt werden können.\\ Diese Form ist wesentlich einfacher und benötigt weniger Annahmen als die konventionelle Vierervektor-Darstellung (siehe Abs. \ref{secvergl}).\\ Man kann daher vermuten, daß die zugrundeliegende Matrixalgebra – ähnlich wie die Spinoralgebra – fundamentaler als die vierdimensionale Vektoralgebra der Minkowski-Raumzeit ist (siehe Abs. \ref{Spinoren}).
Die Lösungen der im Text eingestreuten n Aufgaben lassen sich durch Anklicken der Kopfzeile anzeigen. Die Anzahl der \ST-Symbole zeigt ihre Schwierigkeitsstufe von 1 - 6 an.
\section{Vergleich der Matrixdarstellung mit konventioneller Vierervektor-Darstellung} \label{secvergl} Die Matrixdarst. reproduziert alle Ergebnisse der SRT, benötigt aber wesentlich weniger Annahmen und ist signifikant einfacher (siehe zB. Abs. \ref{sec-mech}).\\ Im Einzelnen hat sie folgende heuristischen Vorzüge:Wir verwenden die Einsteinsche Summenkonvention: Über doppelt auftretende Indizes in Produkten wird implizit summiert: $a_k b_k \DEF \sum_k a_k b_k$ und analog $a_k^2 \DEF \sum_k a_k^2$ (außer bei Einheiten-Gln.: zB. $\sigma_\mu^2 = I$ gilt für alle $\mu$).\\ Variablensymbole:
Es sei eine beliebige 2x2-Matrix $\fbox P \DEF {\alpha,\,\gamma\choose\beta,\,\delta}$ aus 4 komplexen Zahlen $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\CS$ gegeben.
Die Spur einer quadratischen Matrix $A\DEF (a_{\mu\nu})$ ist die Summe der Diagonalelemente $\TR(A) = a_{\mu\mu}.$\\ Für ein Matrix-Produkt $C\DEF AB$ gilt $c_{\mu\nu} = a_{\mu\lambda} b_{\lambda\nu}$ und folglich $\TR(AB) = a_{\mu\lambda} b_{\lambda\mu} = \TR(BA) = b_{\mu\lambda} a_{\lambda\mu}.$\\ Daraus folgt die zyklische Vertauschungsregel, wenn man die Faktoren $A,B$ wiederum als Matrixprodukte darstellt. q.e.d.
Die drei Pauli-Matrizen
$\fbox \sigma_1 \DEF {0,1\choose 1,0},\; \sigma_2 \DEF {0,-i\choose i,\;0},\; \sigma_3 \DEF {1,\;0\choose 0,-1}$
sind hermitesch: $\sigma_k^\dagger =\sigma_k,$ spurfrei: $\bar\sigma_k + \sigma_k = 0,$ und erfüllen für alle k: $\sigma_k^2 = I$ sowie
$ \sigma_1\sigma_2 = -\sigma_2\sigma_1 = i\sigma_3$ usw. (123-zyklisch).\\
Allgemein gilt folglich für das Produkt zweier Pauli-Matrizen
$\UL{\sigma_i\sigma_j = \delta_{ij}[I] +i\epsilon_{ijk} \sigma_k}$
mit dem vollständig antisymmetrischen Tensor $\epsilon_{ijk}$. (Die Einheitsmatrix $I$ als Faktor wird im Folgenden in den Matrix-Gln. weggelassen.)\\
Er hat 3³ = 27 Komponenten, von denen nur die sechs mit verschiedenen $i,j,k$ ungleich Null sind:
$\epsilon_{123}=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=1,\; \epsilon_{213} =\epsilon_{132} =\epsilon_{321} =-1$
(siehe auch Levi-Civita-Symbol (wiki)).\\
Mit der Regel $\epsilon_{mkl}\epsilon_{lnj} = \delta_{mn}\delta_{kj} -\delta_{mj}\delta_{kn}$
(nur die Summanden, für die $m=n, k=j$ oder $m=j,k=n$ ist, verschwinden nicht),\\
folgt
$ \UL{\sigma_m\sigma_k\sigma_n} = (\sigma_m\sigma_k)\sigma_n = (\delta_{mk} + i\epsilon_{mkl}\sigma_l)\sigma_n
= \delta_{mk}\sigma_n + i\epsilon_{mkl}(\delta_{ln} + i\epsilon_{lnj}\sigma_j) $
$ = \delta_{mk}\sigma_n + i\epsilon_{mkn} - \epsilon_{mkl}\epsilon_{lnj}\sigma_j
= \UL{\delta_{mk}\sigma_n - \delta_{mn}\sigma_k +\delta_{kn}\sigma_m + i\epsilon_{mkn} }
$\\
Als Probe (insbes. Vorzeichen) genügen die vier Kombinationen mkn = 111, 121, 122, 123
Berechnung des Pauli-Triple-Produkts $\sigma_m\sigma_k\sigma_n$ \ST\ST\ST\ST\ST
Zusätzlich definieren wir $ \fbox \sigma_0 \DEF I$ als ebenfalls hermitesche, vierte Basismatrix,
die trivial mit allen $\sigma_k$ kommutiert $ \sigma_0\sigma_k = \sigma_k\sigma_0.$\\
Für alle $\mu = 0,\dots,3$ gilt damit $\sigma_\mu^2 =\sigma_0 = I,\; \sigma_\mu^\dagger =\sigma_\mu.$ \FN{
WK: Das Produkt zweier Basis-Matrizen hat also stets die Darstellung $\UL{\sigma_\mu\sigma_\nu = i^n\sigma_\lambda}$.\\
Dafür gilt $\lambda = \mu \XOR \nu$ mit dem kommutativen und assoziativen, bitweisen XOR-Operator $\XOR$ (exklusiv Oder).
Eine geschlossene Darstellung $n = n(\mu,\nu)$ ist noch offen...
}
Aus Obigem folgt eine Orthogonalitäts-Relation $\UL{\TR (\sigma_\mu\sigma_\nu) = 2\delta_{\mu\nu}}.$
Aus $\TR(\sigma_k) = 0$ folgt $\TR (\sigma_i\sigma_j) = 2\delta_{ij}$ und $\TR (\sigma_0\sigma_k) = \TR (\sigma_k\sigma_0) = \TR (\sigma_k) = 0.$
Außerdem ist $\TR(\sigma_0^2) = \TR(I) = 2$, q.e.d.
Beweis der Orthogonalitäts-Relation \ST\ST
Die vier Matrizen $\sigma_\mu$ bilden eine Basis im Vektorraum der komplexen 2x2-Matrizen,
dh. jede Matrix $P \DEF {\alpha,\,\gamma\choose\beta,\,\delta} \in\CS^{2x2} $ kann in der Form
$\fbox P \DEF \pi_\mu\sigma_\mu = {\pi_0+\pi_3,\,\pi_1-i\pi_2\choose \pi_1+i\pi_2,\,\pi_0-\pi_3} $
mit vier komplexen Zahlen $\pi_\mu\in\CS$ dargestellt werden: $ \UL{ \pi_\mu = \frac 12\TR(P \sigma_\mu)} $
Mit der Orthogonalitäts-Relation folgt
$\UL{\TR(P \sigma_\mu)} = \TR(\pi_\lambda\sigma_\lambda \sigma_\mu)
= \pi_\lambda \TR(\sigma_\lambda \sigma_\mu) = \pi_\lambda 2\delta_{\lambda\mu} = \UL{2\pi_\mu} $
Explizit ist
die eindeutige Lösung der Gl. $ {\pi_0+\pi_3,\,\pi_1-i\pi_2\choose \pi_1+i\pi_2,\,\pi_0-\pi_3} \stackrel != {\alpha,\,\gamma\choose\beta,\,\delta} $
trivial $\UL{\pi_0 =\frac 12(\alpha+\delta),\; \pi_3 =\frac 12(\alpha-\delta),\; \pi_1 = \frac 12(\beta+\gamma),\; \pi_2 = \frac 1{2i}(\beta-\gamma)}$
(Trennung nach Diagonal- bzw. Nichtdiagonal-Elementen).
Beweis von $ \pi_\mu = \frac 12\TR(P \sigma_\mu) $ \ST\ST
Die Beziehung $\UL{\bar \sigma_\mu = \eta_{\mu\nu} \sigma_\nu}$ definiert die Minkowski-Metrik $\eta_{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu} = [1,-1,-1,-1]$ (als 4x4-Diagonal-Matrix),
und es gilt $ \TR(\sigma_\mu\bar \sigma_\nu) = 2 \eta_{\mu\nu}.$
Wir multiplizieren die Gl. $\bar \sigma_\mu = \eta_{\mu\nu} \sigma_\nu$ von links mit $\sigma_\lambda$ und bilden die Spur:
$\TR(\sigma_\lambda \bar \sigma_\mu) = \eta_{\mu\nu} \TR(\sigma_\lambda \sigma_\nu) = \eta_{\mu\nu}2\delta_{\lambda\nu} = 2\eta_{\mu\lambda}= 2\eta_{\lambda\mu}$ q.e.d.
Beweis von $ \TR(\sigma_\mu\bar \sigma_\nu) = 2 \eta_{\mu\nu}$ \ST\ST
Eine Erweiterung dieses Formalismus auf mehr als vier Raumzeit-Dimensionen ist nicht möglich, da die Determinante von $n\times n$-Matrizen für $n \gt 2$ nicht bilinear in den Komponenten ist.
\section{Minkowski-Matrizen & Lorentz-Transformationen} \label{sec-lt}
Minkowski-Vektoren $(m_0,\dots, m_3)\in \RS^4$ werden mit $\UL{M \DEF m_\mu\sigma_\mu = m_0 +m_k\sigma_k \DEF m_0 +\vec m }$ eineindeutig auf Matrizen $M$ abgebildet. \\
Wegen der Hermitezität der Basis gilt $\UL{M^\dagger} = m_\mu^\ast \HC \sigma_\mu = m_\mu \sigma_\mu = \UL {M},$ sie sind also hermitesche Matrizen.
Wir bezeichnen diese Matrizen hier als Minkowski-Matrizen (MM).\\
Sie haben die explizite Matrixform $M = {a,\, \eta^\ast \choose \eta,\, b},$
mit reellen Diagonalelementen $a \DEF m_0+m_3,\, b \DEF m_0 -m_3 \in\RS$ und komplexem $\eta \DEF m_1+im_2\in \CS$.\\
Die (ebenfalls reelle) Determinante $|M| = m_0^2 -m_k^2 =m_\mu m_\nu \eta^{\mu\nu} = ab - |\eta|^2$ ist
die Lorentz-Invariante, also gilt $|M| \gt 0$ für zeitartige,
$|M| \lt 0$ für raumartige und
$|M| = 0$ für lichtartige Vektoren.\\
Für Minkwoski-Matrizen bewirkt die bar-Operation $M\to \bar M $ offensichtlich eine Raum-Spiegelung (aller drei Komponenten $m_k\to -m_k$)
bei ungeänderter Zeitkomponente $m_0$.\FN{
Das ist eine uneigentliche LT.
Diese lassen sich im unten beschriebenen Matrix-Formalismus\\
nicht in der Form $M' =T M\HC T$ darstellen, wohl aber in der Vierervektor-Form (s. Abs. \ref{secvergl})
}\\
Die Minkowski-Raumzeit-Matrix ist $\fbox X \DEF x_\mu\sigma_\mu = x_0 + \vec x$ mit
$\UL{x_0 \DEF ct}$ als Zeitkomponente ($c = 300.000 \frac{km}s = 3\times 10^8 \frac ms = $Vakuumlichtgeschwindigkeit) und
$\vec x \DEF x_k\sigma_k$ als R³-Koordinate, $k = (1,2,3) = (x,y,z).$\\
In Kugelkoordinaten $(r,\theta,\VP)$ hat $\vec x$ die Darst $\vec x \DEF r\vec e,$ mit $r \DEF \sqrt{ x_k^2}$ und dem Einheitsvektor
$\vec e = (e_x,e_y,e_z) = (\sin\theta \cos\VP,\, \sin\theta \sin\VP,\, \cos \theta).$
Damit folgt
$\vec e =e_k\sigma_k ={e_z,\;e_x -ie_y\choose e_x+ie_y,-e_z} = {\cos \theta,\; e^{-i\VP}\sin\theta \choose e^{i\VP}\sin\theta,\,-\cos\theta}.$
Man bestimme die Matrix-Darstellung des Einheitsvektors $\vec e $ \ST
Eine Lorentz-Transformation (LT) für eine MM $M$ wird im Matrixformalismus mit einer 2x2-Matrix $T\in \CS^{2x2}$ ausgedrückt durch
$\fbox\, M\to M' = TM \HC T$.\\
Darin muß $T$ unimodular sein $ |T|\stackrel !=1$, was wegen $T\bar T = \bar T T = |T|I$ äquivalent ist zu $\fbox T\bar T = \bar T T = I.$\\
Eine solche Matrix drei komplexe (= 6 reelle) Freiheitsgrade, die die drei R3-Drehwinkel &
die drei echten RZ-Transformationen (boosts) darstellen.\\
Hermitezität $\HC{M'} = (TM \HC T)^\dagger = TM \HC T = M'$ und Invariante $|M'| = |T M \HC T| = |T| |M| | \HC T| = |M| $ bleiben dabei erhalten,
da auch $ | \HC T| = |T|^\ast = 1 $.
Die bar-Matrix $\bar M$ transformiert sich folglich mit $\bar M' = \overline{(TM \HC T) } = \bar \HC T \bar M\, \bar T.$\\
Die Umkehrformel $M'\to M$ ergibt sich durch beidseitige Multiplikation: $\bar TM'\bar \HC T =\bar T(TM \HC T)\bar \HC T = (\bar TT) M (\HC T\bar \HC T) = M$.
Man bestimme die LT-Regel für $\bar M$ und die Umkehrformel $M'\to M$ \ST
Die Menge aller unimodularen Matrizen $T$ eine bildet eine multiplikative Gruppe.
Für bel. $T_1,T_2$ mit $|T_1|= |T_2| = 1$ folgt $|T_1T_2| = |T_1||T_2| = 1,$ also ist auch jedes Produkt $T_1 T_2 \in SL(2,\CS)$ q.e.d.
$M' = TM\bar T = T(m_0 +\vec m) \bar T = m_0 +T\vec m \bar T \DEF m_0' + V $ ergibt $m_0' = m_0,$
da der skalare Anteil $v_0$ von $ V \DEF T\vec m \bar T \DEF v_0 +\vec v$ Null ist.
Beweis: $V + \bar V = T\vec m \bar T + T(-\vec m) \bar T = 0.$ q.e.d.
Beweis dieser Behauptung \ST
Man beweise, daß für diese LT die Zeitkomponente $m_0$ invariant ist \ST\ST
Die explizite Darst einer bel. LT lautet $\UL{T \DEF \tau_0 +\tau_k\sigma_k}$ (mit $|T| = \tau_0^2 -\tau_k^2 \stackrel != 1$). Mit $\HC T = \tau_0^\ast + \tau_k^\ast\sigma_k$ und $\bar T = \tau_0 -\tau_k\sigma_k $ ergibt sich folgende Klassifizierung der LT:
$X' = TX \HC T = (\tau_\lambda\sigma_\lambda) (x_\nu \sigma_\nu)( \tau_\epsilon^\ast \sigma_\epsilon) = x_\nu\tau_\lambda \tau_\epsilon^\ast \UB{\sigma_\lambda \sigma_\nu \sigma_\epsilon}_{\DEF \alpha_{\lambda\nu\epsilon\mu}\sigma_\mu} = \tau_\lambda \tau_\epsilon^\ast \alpha_{\lambda\nu\epsilon\mu} x_\nu \sigma_\mu \DEF x_\mu' \sigma_\mu \stackrel != a_{\mu\nu} x_\nu \sigma_\mu $ ergibt $\UL{ a_{\mu\nu} = \alpha_{\lambda\nu\epsilon\mu}\tau_\lambda \tau_\epsilon^\ast },$ weil die Gl. für bel. $x_\nu$ erfüllt sein muß.\\ Die 44 = 256 komplexen Koeffizienten $\alpha_{\lambda\nu\epsilon\mu}$ sind durch die Gleichung $\sigma_\lambda \sigma_\nu \sigma_\epsilon \DEF \alpha_{\lambda\nu\epsilon\mu}\sigma_\mu$ eindeutig bestimmt, denn die Multiplikation von rechts mit $\sigma_\xi$\\ und Verwendung der Orthogonalität $\TR(\sigma_\mu\sigma_\xi) = 2\delta_{\mu\xi} $ ergibt $\alpha_{\lambda\nu\epsilon\mu} = \frac 12 \TR( \sigma_\lambda \sigma_\nu \sigma_\epsilon \sigma_\mu) = \frac 12 \TR( \sigma_\mu \sigma_\lambda \sigma_\nu \sigma_\epsilon).$ Man erhält also $\UL{ a_{\mu\nu} = \frac 12 \TR( \sigma_\mu \sigma_\lambda \sigma_\nu \sigma_\epsilon)\tau_\lambda \tau_\epsilon^\ast .$\\ Die allgemeine Spur dieses 4-Basis-Produkts berechnen wir mit $ \TR( \sigma_\mu \sigma_\lambda \sigma_\nu \sigma_\epsilon) = \eta_{\lambda\alpha} \eta_{\epsilon\beta} \TR( \sigma_\mu \bar\sigma_\alpha \sigma_\nu \bar \sigma_\beta) \DEF \eta_{\lambda\alpha} \eta_{\epsilon\beta} \pi_{\mu\alpha\nu\beta}$ aus dem alternierenden Produkt $\UL{\pi_{\mu\alpha\nu\beta} \DEF \TR( \sigma_\mu \bar\sigma_\alpha \sigma_\nu \bar \sigma_\beta)}$\\ Dieses läßt sich mit kombinatorischen Überlegungen bestimmen. Es gilt für bel. Indizes $\alpha,\beta = 0,\dots 3$: $\sigma_\alpha \bar\sigma_\beta = \pm\sigma_\beta \bar\sigma_\alpha = c \sigma_\beta \bar\sigma_\alpha $ ($+$-Vorz. gdw. $\alpha = \beta$, resp $c = 2 \delta_{\alpha\beta}-1$). \\ Folglich müssen von den 4 Indizes $\mu,\alpha,\nu,\beta$ zwei paarweise gleich sein, oder alle 4 verschieden; in allen anderen Fällen wird die Spur Null.\\
| $a_{00} $ | $ = 2|\tau_0|^2 - (|\tau_0|^2 - |\tau_k|^2) $ | $ = \UL{|\tau_\lambda|^2}$ | $a_{11}$ | $ = 2|\tau_1|^2 + (|\tau_0|^2 - |\tau_k|^2) $ | $ = \UL{|\tau_0|^2 +|\tau_1|^2 -|\tau_2|^2 -|\tau_3|^2}$ | $a_{kk}$ | analog |
| $a_{01} $ | $ = \tau_0\tau_1^\ast + \tau_1\tau_0^\ast +i \eta_{\lambda\alpha} \eta_{\epsilon\beta} \epsilon_{0\alpha 1\beta} \tau_\lambda \tau_\epsilon^\ast $ | $ =\UL{\tau_0\tau_1^\ast + \tau_1\tau_0^\ast +i(\tau_3\tau_2^\ast -\tau_2\tau_3^\ast) } $ | $ a_{10} $ | $ = \tau_0\tau_1^\ast + \tau_1\tau_0^\ast +i \eta_{\lambda\alpha} \eta_{\epsilon\beta} \epsilon_{1\alpha 0\beta} \tau_\lambda \tau_\epsilon^\ast $ | $ =\UL {\tau_0\tau_1^\ast + \tau_1\tau_0^\ast -i(\tau_3\tau_2^\ast -\tau_2\tau_3^\ast)} $ | $a_{0k}, a_{k0}$ | analog |
| $ a_{12} $ | $ = \tau_1\tau_2^\ast + \tau_2\tau_1^\ast + i \eta_{\lambda\alpha} \eta_{\epsilon\beta} \epsilon_{1\alpha 2\beta} \tau_\lambda \tau_\epsilon^\ast $ | $ = \UL{\tau_1\tau_2^\ast + \tau_2\tau_1^\ast +i(\tau_0\tau_3^\ast - \tau_3\tau_0^\ast)}$ | $a_{kl}$ | analog | |||
Infinitesimale LT sind Transformationen, die der identischen LT $T=I$ infinitesimal benachbart sind.
In Matrixform haben sie die Darst. $\UL{T = \tau_\mu\sigma_\mu = I +\epsilon_k\sigma_k = I +\vec \epsilon}$ mit $ |\epsilon_k|^2 \ll 1.$\\
Sie haben als 6 Erzeugende die Real- und Imaginärteile von $\epsilon_k \DEF a_k +i b_k$ und sind automatisch unimodular $|T| = 1- \epsilon_k^2 = 1$
Damit ist $x_0' = ct'= ct + 2a_kx_k $ dh $\UL{t'=t + \frac 1c 2a_kx_k}$ und $\UL{x_k' = x_k + 2x_0 a_k - 2 x_m b_l\epsilon_{kml}}$ \\
dh $\vec a_$ repräsentiert eine Bewegung $\vec x' = \vec x - t\vec v $ und $t' = t - \frac 1{c^2}\vec v \cdot\vec x $ mit der Geschwind. $\vec v \DEF -2c\vec a$
und $\vec b$ eine R³-Drehung $\vec x' = \vec x -2 \vec x \times \vec b.$ q.e.d.
Man beweise, daß die $a_k$ LT-Boosts darstellen, und die $b_k$ R³-Drehungen, durch Anwendung auf die MM $X\DEF x_\mu\sigma_\mu$\ST\ST\ST
\[X' = T X \HC T = (I +\epsilon_k\sigma_k)X (I +\epsilon_k^\ast\sigma_k) = X + \epsilon_k\sigma_k X + X\epsilon_k^\ast\sigma_k
= X + x_\mu a_k \UB{(\sigma_k \sigma_\mu + \sigma_\mu \sigma_k)}_{= 2\delta_{k\mu}+2\delta_{\mu 0}\sigma_k}
+ ix_\mu b_k\UB{(\sigma_k \sigma_\mu - \sigma_\mu \sigma_k)}_{= 2i\epsilon_{k\mu l}\sigma_l,\; \mu \neq 0}
= X + 2a_kx_k + 2x_0 a_k\sigma_k - 2 x_m b_k\epsilon_{km l}\sigma_l \DEF x_0' + x_k'\sigma_k
\]
Die Gleichungen der relativistischen Mechanik sind in Matrixform völlig analog zur Vierervektor-Formulierung.
\subsection{Relativistische Kinematik}Wir betrachten einen Massenpunkt, der sich auf einer Trajektorie $x_k(t)$ im R³ bewegt. In Matrixform ist dann seine Koordinaten-MM $X(t) = x_\mu\sigma_\mu,\; \UL{x_0 \DEF ct}$, also differentiell $\UL{dX = Udt}$ mit $ U \DEF c +u_k\sigma_k,\; u_k \DEF \frac{dx_k}{dt}.$\\ Da die Bewegung stets mit Unterlichtgeschwindigkeit abläuft ($u_k^2 \lt c^2$), ist $|U| = c^2-u_k^2 \gt 0$ (dh. $U$ ist eine zeitartige MM).\FN{ $U$ ist jedoch im Gegensatz zu $X$ und $V$ nicht LT-kovariant, da $dt$ keine Invariante ist. }\\ Wir definieren nun mit $\UL{d\tau} \DEF dt\frac {\sqrt{|U|}}c = dt \frac{\sqrt{ c^2-u_k^2}}c= \UL{dt\sqrt{1-u^2}$ (mit $\UL{u^2\DEF \frac{u_k^2}{c^2}}$) die LT-invariante Eigenzeit $\tau$ als neuen Bahnparameter. Das ergibt die bekannte Formel für die Zeitdilatation $dt = \frac{d\tau}{\sqrt {1- u^2}$.\\
Damit ist $\fbox V(\tau)\DEF \frac {dX}{d\tau} = U \frac {dt}{d\tau} $ die normierte 4D-Geschwindigkeits-MM. Für sie gilt $\UL{|V|}=|\frac {dX}{d\tau}| = |\frac {dX}{dt}\frac {dt}{d\tau}|= |U|(\frac {dt}{d\tau})^2 = |U|\frac {c^2}{|U|} = \UL{ c^2}$, also $\UL{v_0^2-v_k^2 = c^2}$.\\ Also ist die Zeitkomponente von $V$ gleich $v_0 = \sqrt{c^2 +v_k^2} = \frac{c}{\sqrt {c^2-u_k^2}} \geq c.$ Und es gelten die Umrechnungsformeln $cdt = dx_0 = v_0 d\tau = \sqrt{c^2 +v_k^2} d\tau$ und $v_k = \frac {u_k}{\sqrt {1- u^2}},\; u_k = c\frac{v_k}{v_0}= \frac {cv_k}{\sqrt {c^2+v_k^2}}.$
\subsection{Relativistische Dynamik}Die Grundgleichungen der SRT-Mechanik ergeben sich direkt durch die Ersetzung von $t\to \tau$ aus den entsprechenden klassischen Gleichungen.\\ Sie lauten in Matrixform – mit $K$ als 4D-Energie-Impuls-MM (EI-MM) und $F$ als 4D-Kraft-MM – für einen Massenpunkt mit der Ruhmasse $m$:\\ \[ \UL{dX = Vd\tau\; (1),\quad K \DEF mV\;(2), \quad dK = Fd\tau\;(3) } \]
Damit lautet das Grundgesetz der relativist. Mechanik $\fbox \frac {dK}{d\tau} =m\frac {d^2 X}{d\tau^2} = F$ als Ablösung des zweiten Newtonschen Gesetzes. Alle Gleichungen sind trivial lorentz- und spiegel-kovariant.\\ Aus Gl. $(2)$ folgt $ |K| = m^2 c^2$, und mit Hilfe von $d|V| = d (V\bar V) = dV\bar V + V d\bar V = 0$ erhalten wir $ d |K| = d (K\bar K) = dK\bar K + Kd\bar K = m d\tau(F\bar V + V\bar F) = 0.$\\ Also ist die Kraft $F$ für alle Wechselwirkungen zur Geschwindigkeit $V$ orthogonal: $\TR(F\bar V) = 0.$ (siehe zB. Lorentz-Kraft in Abs. \ref{secelec})\\
Die kinetische relativist. Energie $e_k$ bestimmt sich aus der Zeitkomponente $k_0$ mit
$\UL{e_k \DEF c k_0} = mc v_0 = mc\sqrt{c^2+v_n^2} \approx m(c^2+\frac {v_n^2}2) = mc^2 + \frac {k_n^2}{2m}$
(die Näherung gilt für kleine Geschwindikeiten $v_n^2\ll c^2$).\\
In einem zeitunabhängigen, skalaren Potentialfeld $u(\vec x)$ mit $E\DEF \nabla u =u,_k\sigma_k$ (nicht LT-kovariant) ist
$ F = -\frac 1{2c}(VE + E V) = - \frac 1c (u,_m v_m+ v_0 u,_k\sigma_k).$\\
Für die kinet. Energie gilt (Zeitkomponente)
$\UL{ \frac{de_k}{d\tau}} = c\frac {dk_0}{d\tau} = cf_0 = - u,_m v_m = - u,_m \frac {dx_m}{d\tau} = \UL{-\frac {du}{d\tau}}.$\\
Damit ist die Gesamtenergie $\UL{e \DEF e_k + u = const.}$ zeitunabhängig (eine Erhaltungsgröße).
Man beweise die Erhaltung der Gesamtenergie $e \DEF e_k + u$ in diesem Feld \ST\ST
Für masselose, lichtartige Teilchen gibt es wegen $|U| = 0$ keine Eigenzeit (und kein Ruhsystem). \\ Für Photonen wird jedoch der EI-MM quantenmechanisch als $\fbox K \DEF \hbar W$ ($ |K| = 0$), aus der Wellenzahl-MM $W \DEF \frac \omega c + \vec w,\; |W| = \frac {\omega^2}{ c^2} - w_k^2= 0$ definiert. (siehe auch elektromagnetische Wellen in Abs. \ref{secelec})\\ Dieselbe Beziehung ordnet auch Teilchen mit Masse ($|K| \neq 0$) eine Materie-Wellenzahl-MM zu: $ W \DEF \frac 1\hbar K$ (Welle-Teilchen-Dualismus).\\ Für ein Teilchen, das sich mit Geschwindigkeit $v$ in Richtung des Einheitsvektors $\vec e$ bewegt, ist damit $\UL{ W = \frac m\hbar V = \frac m\hbar (v_0 + v\vec e) = \frac \omega c + \vec w}.$\\ Also ist die Kreisfrequenz $\omega = \frac {mc}\hbar v_0 = \frac {mc}\hbar \sqrt{c^2+v^2} $ und der Wellenzahl-Vektor $\vec w = \frac {mv}\hbar \vec e = \frac {2\pi}\lambda \vec e$ mit der deBroglie-Wellenlänge $ \lambda = \frac h{mv}.$\\ Die Invariante ist $|W| = \frac {\omega^2}{ c^2} - w_k^2 = \frac {|K|} {\hbar^2} = (\frac {mc} {\hbar})^2 = (\frac {2\pi}{\lambda_C})^2$ mit der Compton-Wellenlänge $ \lambda_C = \frac h{mc}.$\\
\section{Ruhsysteme & Schwerpunktsysteme} \label{sec-ruh}In einem Ruhsystem (bezüglich eines Massenpunktes) gilt $\vec v = 0$ also $V \DEF v_0 +\vec v = cI,$ und demzufolge wegen $dX \DEF dx_0 +d\vec x = Vd\tau,\; \UL{dx_0 \DEF cdt = cd\tau},\; d\vec x = 0$ (das ist die Def. der Eigenzeit).\\ Ein solches Koordinatensystem ist natürl. nicht eindeutig bestimmt, denn eine R³-Drehung ($\HC T = \bar T$) ändert $V$ nicht: $V' = TV\bar T = cT I\bar T = cI = V.$ % '
Wir suchen nun eine Boost-LT ($ \HC T= T\DEF t_0 + t_k\sigma_k$), die ein gegebenes $V$ in ein Ruhsystem transformiert.
Das ist im Matrixformalismus sehr einfach zu lösen:\\
Dafür muß gelten $\UL{TVT \stackrel ! = cI},$ also $V \stackrel ! = \bar T cI \bar T = c(\bar T)^2$. Das ergibt
$V\DEF v_0 + v_k\sigma_k \stackrel != c(\bar T)^2 = c(t_0-t_k\sigma_k)^2 = c(t_0^2 + t_k^2 -2t_0 t_k\sigma_k),$
also liefert der Koeffizientenvergleich die 4 Gln. $v_0 \stackrel != c(t_0^2 + t_k^2),\; v_k \stackrel != -2ct_0 t_k$\\
Mit der Bedingung $ |T| = t_0^2 -t_k^2 \stackrel != 1$ folgt sofort $v_0 = c(2t_0^2 -1),$ also $t_0 = \pm \sqrt {\frac {v_0+c}{2c}}$ und
$t_k = -\frac{v_k}{2ct_0} = -\frac{v_k}{\pm \sqrt {2c (v_0+c)}$ und damit schließlich die gesuchte Boost-LT
$\UL{T = \pm \sqrt {\frac {v_0+c}{2c}}(I - \frac {v_k }{v_0+c} \sigma_k)}.$
Probe 1. $|T| = 1$ und 2. $TVT = cI$ \ST\ST\ST\ST
Die obige Rechnung läßt sich direkt verallgemeinern zur Bestimmung
eines Schwerpunktsystems (SP-KS) eines Vielteilchensystems.\\
Dieses wird durch die Energie-Impuls-MM der einzelnen T. $K_1, K_2,\dots K_n $ beschrieben.
Die Gesamt-EI-MM ist $\UL{K \DEF k_0 + \vec k \DEF \sum K_i}.$\\
Ein SP-KS ist dadurch definiert, daß hier der Vektoranteil $\vec k'$ von $K'= TK \HC T= k_0' + \UB{\vec k'}_{=0} = k_0' I \DEF k I$ Null ist.\\ %'
Dh. es wird eine Boost-LT $T =\HC T$ gesucht, die das liefert, wobei für die Konstante $k$ natürlich $ k^2 = |K|$ gelten muß (Determinantensatz).\\
Ein solches KS ist sogar für ein System masseloser, lichtartiger Teilchen (zB. Photonen) definiert, da auch sie eine EI-MM $K_i$ (mit $|K_i| = 0$, siehe Abs. \ref{sec-mech})
besitzen; wenn $k\neq 0$ erfüllt ist.
$k=0$ gilt nur für spezielle Photonensysteme. Es gilt $k^2 \DEF |K| = |\sum K_i| = \frac 12 \TR((\sum K_i)(\sum \bar K_j)) = \frac 12 \sum_{ij}\TR( K_i\bar K_j)
= \frac 12 \sum_{i}\UB{\TR( K_i\bar K_i)}_{=0} + \sum_{i \lt j}\TR( K_i\bar K_j) = \UL{\sum_{i \lt j}\TR( K_i\bar K_j)}.$
\\
Für ein System aus zwei Photonen bedeutet diese Bedingung $k=0$ zB, daß ihre Wellenzahl-MM parallel sind:
$\TR( K_1\bar K_2) = 0$ erfordert $K_1 = cK_2$
Man bestimme $k^2$ für ein System aus $n$ Photonen \ST\ST\ST
Die Algebra der Matrizen erlaubt prinzipiell die Bildung beliebiger Produkte $C \DEF A B.$ Diese sind aber nicht LT-kovariant, wenn $A,B$ MM sind,
denn $C' = A'B' = TA\UB{\HC T T}_{\neq I} B \HC T$ ergibt keinen kovarianten Ausdruck.\\ %'
Kovariant sind nur 'alternierende' Produkte der Form $C \DEF A \bar B$ (analog $D\DEF \bar A B$),\FN{
Dieser Ausdruck ergibt sich aus $C$ mit einer Raum-Spiegelung $A\to \bar A,\; B \to \bar B$
} (Das läßt sich beliebig fortsetzen, zB $X \DEF A\bar B C\dots$)
Es gilt
$\UL{C'} = A'\bar B' = TA\UB{\HC T \bar \HC T}_{=I} \bar B\, \bar T = TA\bar B\, \bar T = \UL{T C \bar T}.$ %'
Herleitung der LT-Kovarianz von $C \DEF A \bar B$ \ST
Bei R³-Drehungen ($\bar T = \HC T$) transformieren sich beide Vektoren separat wie gewöhnliche Vektoren $\vec u' = T\vec u \HC T,\; \vec v' = T\vec v \HC T,$ werden jedoch bei Boosts ($T = \HC T$) gemischt. \\ Wir zeigen das am Beispiel einer beliebigen LT in z-Richtung $T \DEF \tau_0 +\tau_3\sigma_3$. Mit $\sigma_3\sigma_k = \pm \sigma_k\sigma_3$ folgt: \[\vec c' = T\vec c \bar T = (\tau_0 +\tau_3\sigma_3)(c_k\sigma_k)(\tau_0 -\tau_3\sigma_3) = (c_1\sigma_1+c_2\sigma_2)(\tau_0 -\tau_3\sigma_3)(\tau_0 -\tau_3\sigma_3) +c_3\sigma_3\UB{(\tau_0 +\tau_3\sigma_3)(\tau_0 - \tau_3\sigma_3)}_{=1} = (c_1\sigma_1+c_2\sigma_2)(\tau_0^2 +\tau_3^2 - 2\tau_0\tau_3\sigma_3) + c_3\sigma_3 = (\tau_0^2 +\tau_3^2) (c_1\sigma_1+c_2\sigma_2)+ 2i \tau_0\tau_3(c_1\sigma_2 - c_2\sigma_1) + c_3\sigma_3 \DEF c_k'\sigma_k \] Wir erhalten damit $c_1' = (\tau_0^2 +\tau_3^2) c_1 -2i \tau_0\tau_3 c_2,\; c_2' = (\tau_0^2 +\tau_3^2) c_2 +2i \tau_0\tau_3 c_1,\; c_3' = c_3.$ %' Die Substitution $\tau_0 = \cosh\frac\lambda 2,\; \tau_3 = \sinh\frac\lambda 2$ (sie erfüllt $|T| = \tau_0^2 -\tau_3^2 =1$) ergibt $ \tau_0^2 +\tau_3^2 = \cosh \lambda,\; 2 \tau_0\tau_3 = \sinh \lambda,$\\ also $\UL{c_1' = \cosh \lambda c_1 -i\sinh \lambda c_2,\; c_2' = \cosh \lambda c_2 +i\sinh \lambda c_1},$ $c_3$ bleibt invariant.\\
Mit dem Pauli-Triple-Produkt (siehe Abs. \ref{sec-metrik}) $ \sigma_m\sigma_k\sigma_n = \delta_{mk}\sigma_n - \delta_{mn}\sigma_k +\delta_{kn}\sigma_m + i\epsilon_{mkn} $\\ ergibt der in $\tau_k$ quadrat Teil $Q \DEF \pi_k \tau_m\tau_n(\sigma_m \sigma_k\sigma_n) = \pi_k \tau_m\tau_n(\delta_{mk}\sigma_n - \delta_{mn}\sigma_k +\delta_{kn}\sigma_m) =\pi_k(\tau_k\tau_n\sigma_n - \tau_m^2\sigma_k + \tau_m\tau_k\sigma_m) = (2\tau_m\tau_k\pi_m -\tau_m^2 \pi_k)\sigma_k = \tau_m(2\tau_k\pi_m -\tau_m \pi_k)\sigma_k$\\ Damit erhalten wir mit $\tau_0^2 - \tau_k^2 = 1$\\ \[ \UL{\pi_k'} = \tau_0^2\pi_k + 2i\tau_0\tau_m \pi_n \epsilon_{mnk} - (2\tau_m\tau_k\pi_m -\tau_m^2 \pi_k) = (1+2\tau_m^2)\pi_k - 2\tau_k\tau_m\pi_m + 2i\tau_0\tau_m \pi_n \epsilon_{mnk} = \UL{ (2\tau_0^2 -1) \pi_k - 2\tau_k\tau_m\pi_m +2i\tau_0\epsilon_{mnk} \tau_m\pi_n} \] %'
Einsetzen von $\tau_1=\tau_2 = 0$ ergibt den obigen Spezialfall $T =\tau_0 +\tau_3\sigma_3$. Als weitere Probe kann man $\pi_k'^2 = \pi_k^2$ testen... (Es stimmt ;-) %'
Zum Vergleich betrachten wir die Vierervektor-Darstellung:\\ Hier kennen wir das Tensorprodukt $c_{\mu\nu} \DEF a_\mu b_\nu \in\RS$ mit 16 reellen Komponenten. Man kann es zerlegen in symmetrischen und antisymm. Anteil (10 + 6 Komp).\\ % $c_{\mu\nu} \DEF s_{\mu\nu} + a_{\mu\nu},$ Vom symm. Anteil hat nur das invariante Skalarprodukt $c_{\mu\nu} \eta^{\mu\nu}$ physikalische Bedeutung. Der physikalisch relevante, antisymm. Anteil wird jedoch durch den Vektoranteil von $A\bar B$ dargestellt. \subsection{Relativistischer Drehimpuls}
ZB. ist der relativist. Drehimpuls in Tensorform $l_{\mu\nu} $der antisymm. Anteil des Produkts aus Raumzeitvektor $x_\mu$ und Energie-Impulsvektor $k_\mu$: $l_{\mu\nu}\DEF x_\mu k_\nu - x_\nu k_\mu.$\\ Dieser entspricht genau dem Vektoranteil des Produkts $L \DEF X\bar K.$\FN{ Der skalare Anteil $l_0 = x_0k_0 - x_m k_m$ ist das invariante Skalarprodukt. }\\ Beweis: $L \DEF l_0 +l_m\sigma_m = X\bar K =(x_0 +x_k\sigma_k)(k_0 - k_m\sigma_m) =\UB{x_0k_0 - x_m k_m}_{l_0} + \UB{(x_m k_0 - x_0 k_m -i\epsilon_{mkl} x_k k_l)}_{l_m}\sigma_m$ ergibt $l_m = \UB{x_m k_0 - x_0 k_m}_{\DEF u_m} + i\UB{\epsilon_{mkl} x_l k_k}_{\DEF v_m} = l_{m0} +i \epsilon_{mkl}l_{lk}$ Die Abb $l_m \Leftrightarrow l_{\mu\nu}$ ist damit eineindeutig, qed.
Aus der Det.-Gl. folgt $|X||\bar K| = |L| = l_0^2 - l_m^2 \in \RS,$ da für die MM $|X|,|K| \in \RS$ gilt. Also ist auch $l_m^2 \in\RS$ reell. \\ Real- und Imaginärteil von $l_m \DEF u_m+i v_m$ sind orthogonal $\UL{u_m v_m = 0},$ da nach Obigem $l_m^2 = (u_m+iv_m)^2 = u_m^2 -v_m^2 +2i\UB{u_mv_m}_{=0} \stackrel !\in\RS.$\FN{ Das folgt auch direkt aus der Antisymmetrie von $\epsilon$ mit $u_m v_m = (x_m k_0 - x_0 k_m)(\epsilon_{mkl} x_l k_k) = \epsilon_{mkl}(x_m k_0 x_l k_k - x_0 k_m x_l k_k) = 0 $ }
\section{Elektrodynamik in Matrixform} \label{secelec}
Wir gehen aus von einem Vektorpotential in Matrixform $A = a_0 + a_k\sigma_k \DEF u +\vec a$ mit der Lorenz-Eichung
$ \frac 1c \partial_t u + \partial_k a_k = 0.$ (Benannt nach Ludwig Lorenz,
siehe Lorenz-Eichung (wiki))\\
Mit dem Matrix-Operator der partiellen Ableitung $\UL{\partial \DEF \partial_\mu \bar\sigma_\mu = \frac 1c \partial_t - \partial_k \sigma_k \DEF \frac 1c \partial_t - \nabla}$ lautet die
Eichung also $\frac 12\TR(\partial \bar A) = 0.$
Damit ist $\UL{F \DEF \partial \bar A \DEF E+iB}$ die spurfreie ($F+\bar F = 0$) elektromagnetische Feldstärke-Matrix.\\
Explizit ist
$F = \partial \bar A = (\frac 1c \partial_t - \nabla)(u -\vec a) = \UB{\frac 1c \partial_t u + \partial_k a_k}_{=0}\,
\UB{ -\nabla u -\frac 1c \partial_t \vec a}_{\DEF E} + i\UB{\epsilon_{klm} \partial_k a_l\sigma_m}_{\DEF B}$.
Die Maxwell-Gln. lauten $\Box \bar A = \bar \partial \partial \bar A = \UL{\bar \partial F = \frac {4\pi}c \bar J} $ mit der
Stromdichte-MM $J \DEF j_0 +\vec j = \rho V $ ($\rho$ Ladungsdichte, $V$ Geschwindigkeits-MM).\FN{
Für ein Punktteilchen mit der Ladung $e,$ das sich auf der Trajektorie $X(\tau)$ bewegt, ist zB $J(X) = eV\int\delta(X-X(\tau))cd\tau,$
mit der 4-dim $\delta$-Funktion $\delta(X) = \prod_\mu \delta(x_\mu)$ und der Geschwindigkeits-MM $V =\frac {dX}{d\tau}$
}
\\
Da $ J = \HC J$ nach Def hermitesch ist, sind die homogenen (zyklischen) Maxwell-Gln. in dieser Matrix-Gl. inbegriffen:
$\UL{\bar \partial F = \HC F \bar\partial},$ in der Vektorform sind es zusätzliche Postulate.\FN{
Sie lassen sich jedoch durch die Annahme des Vektorpotentials $A$ herleiten.
}
Es gilt
$\bar \partial F = (\frac 1c \partial_t + \partial_k\sigma_k)f_m\sigma_m = f_{k,k}+ [\frac 1c \dot f_m +i \epsilon_{mkl} f_{k,l} ]\sigma_m
=\UL{ e_{k,k} + ib_{k,k} + [\frac 1c (\dot e_m+ i\dot b_m) + \epsilon_{mkl}(ie_{k,l} - b_{k,l})]\sigma_m},$ da $f_k\DEF e_k+ib_k$ mit reellen $e_k,b_k.$\\
Die vier homogenen Gln. (antiherm. Summanden) sind folglich $b_{k,k} = 0$ und $\frac 1c \dot b_m + \epsilon_{mkl}e_{k,l} = 0$
und die vier inhomog. Gln (herm. Summanden) lauten
$ e_{k,k} = \frac {4\pi}c j_0$ und $\frac 1c \dot e_m - \epsilon_{mkl}b_{k,l} = -\frac {4\pi}c j_m$
Herleitung der Maxwell-Gln. für $E,B$ aus $\bar \partial F = \frac {4\pi}c \bar J $ \ST\ST\ST\ST
Das Quadrat $F^2 = (f_k\sigma_k)^2 = f_k^2 I \DEF \phi I$ ist mit der skalaren, komplexen Größe $\UL{ \phi \DEF f_k^2} = (e_k + i b_k)^2 = e_k^2 - b_k^2 + 2i e_kb_k.$ Das ist eine Feldinvariante, da mit beliebiger LT $T$ folgt $F'^2 = (TF\bar T) (T F \bar T) = TF^2\bar T = F^2$ (vgl. Abs. \ref{secprod}). %'
Die Lorentz-Kraft auf ein Teilchen mit der Ladung $e,$ das sich mit $V$ bewegt, ist $K\DEF \frac ec \frac 12(FV + V\HC F).$
Mit Anwendung der Vertauschungsregel für die Spur $\TR(AB) = \TR(BA)$ folgt $\TR((FV + V\HC F)\bar V) = \TR(FV\bar V) + \TR(V\HC F\bar V) = \TR(F)|V| + \TR(\HC F)|V| = 0,$
da $F+\bar F = 0.$ q.e.d.
Beweis der Orthogonalitätsbed. $\TR(K\bar V) = 0$ aus Abs. \ref{sec-mech} \ST\ST
Im Fernfeld einer Quelle kann man elektromagnetische Wellen immer als ebene Wellen darstellen. Sie werden beschrieben durch eine lichtartige Wellenzahl-MM $W \DEF \frac \omega c + \vec w,\; |W| = \frac {\omega^2}{ c^2} - w_k^2= 0$ (vergl. Abs \ref{sec-mech}).\\ Damit ist $\VP \DEF \frac 12\TR(W\bar X) = \omega t -w_k x_k$ die LT-invariante Wellenphase. Sie erfüllt $\bar\partial \VP = (\frac 1c \partial_t + \partial_k \sigma_k)\VP = \frac \omega c - \vec w = \bar W .$\\ Wir setzen $F = \hat F e^{-i\VP}$ mit konstanter Amplitude $\hat F,$ dann ergeben die quellfreien Maxwell-Gln. $\bar \partial F = -i \bar W F \stackrel != 0.$ Multiplikation dieser Gl. von rechts mit $F$ ergibt $ \bar W F^2 = \UL{\bar W \phi \stackrel != 0},$ mit der obigen Feldinvarianten $\phi.$\\ Diese Matrix-Gl. erfordert $\phi \stackrel != 0$ (also $\UL{F^2 = 0\cdot I}$) \FN{ Wie man leicht nachprüft, gilt das für alle Matrizen, die $|F| = F\bar F = 0 $ und $ \TR(F) = F +\bar F = 0$ erfüllen. Damit ist auch $F^n = 0$ für alle $n\geq 2.$ } und damit $e_k^2 = b_k^2$ (gleiche Stärke von $E,B$) und $e_k b_k = 0$ (Orthogonalität).\\ Explizit ist $ \bar W F = ( \frac \omega c - w_m\sigma_m)f_k \sigma_k = -w_kf_k + (\frac \omega c f__m- i\epsilon_{mkl}w_kf_l) \sigma_m \stackrel != 0,$ also ergibt die Zeitkomponente die Orthogonalität $\UL{w_kf_k = 0}$ und die anderen drei ergeben die Beziehungen $\frac \omega c f__m = i\epsilon_{mkl}w_kf_l$.
\section{Matrix-Exponentialfunktionen} \label{secmexp}Es sei $Z \DEF \upsilon_\mu \sigma_\mu = \upsilon_0 +\upsilon_k\sigma_k \DEF \upsilon_0 +\vec \upsilon \in \CS^{2x2}$ eine 2x2-Matrix mit beliebigen komplexen Koeffizienten $\upsilon_\mu \in \CS$. Eine (i.A. komplexe) 'Norm' von $\vec \upsilon$ sei def. als $\lambda^2 \DEF \upsilon_k^2,\; \lambda \in \CS $.\\ Wenn $\lambda \neq 0$ ist, kann man einen 'Einheitsvektor' $\vec \epsilon $ (er erfüllt $\vec \epsilon^2 = I \epsilon_k^2= I$) definieren: $\epsilon_k \DEF \frac {\upsilon_k}\lambda.$\FN{ $\lambda$ und $\vec \epsilon$ sind damit nur bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt. } Dann gilt $\vec \upsilon = \lambda\vec \epsilon $.\\ Wir definieren nun eine Matrix-Exponentialfunktion $E(Z) \DEF e^Z = e^{\upsilon_0 + \vec \upsilon} = e^{\upsilon_0 + \lambda\vec \epsilon} = e^{\upsilon_0}\, e^{\lambda\vec \epsilon} $ (mit skalarem Faktor $ e^{\upsilon_0}$) durch die Reihenentwicklung \FN{ Eine solche Def ist natürl. nur für dimensionslose (Zahlen-)Matrizen $Z$ sinnvoll, da man Potenzen von dimensionsbehafteten Größen nicht addieren kann. } \[ \UL{e^{\lambda\vec \epsilon}} = \sum_{k=0}^\infty \frac 1{k!} (\lambda\vec \epsilon)^k =I + \lambda \vec \epsilon + \frac 1{2!}(\lambda\vec \epsilon)^2 + \frac 1{3!}(\lambda\vec \epsilon)^3 + \cdots = (1 + \frac 1{2!}\lambda^2 +\cdots)I + (\lambda + \frac 1{3!}\lambda^3 +\cdots)\vec \epsilon = \UL{\cosh\lambda + \sinh\lambda\cdot \vec \epsilon} \] Zu beachten ist, daß man – wegen der Nichtkommutativität der Matrixmultiplikation – die Argumente zweier Exponentialfunktionen i.A. nicht addieren darf: $e^{X} e^{Y} \neq e^{X+Y}$, wenn $XY\neq YX$.\\ Es gilt jedoch ein Additionstheorem für Exponentialfunktionen mit gleichem $\vec \epsilon_1= \vec \epsilon_2 \DEF \vec \epsilon $ \FN{ Das ist eine Verallgemeinerung des Einsteinschen Additionstheorems für Geschwindigkeiten, wenn $E$ eine LT darstellt (s.u.). } \[ \UL{E(Z_1)E(Z_2)} = E(\upsilon_{01}+\lambda_1 \vec \epsilon)E(\upsilon_{02}+\lambda_2 \vec \epsilon) &=& e^{\upsilon_{01}}(\cosh\lambda_1 + \sinh\lambda_1 \vec \epsilon) e^{\upsilon_{02}}(\cosh\lambda_2 + \sinh\lambda_2 \vec \epsilon) = e^{\upsilon_{01}+\upsilon_{02}}[\cosh\lambda_1 \cosh\lambda_2 + \sinh\lambda_1 \sinh\lambda_2 +(\cosh\lambda_1\sinh\lambda_2 +\cosh\lambda_2\sinh\lambda_1)\vec \epsilon] \\ &=& e^{\upsilon_{01}+\upsilon_{02}}[\cosh(\lambda_1 +\lambda_2) + \sinh(\lambda_1 +\lambda_2)\vec \epsilon] = E(\upsilon_{01}+\upsilon_{02}+(\lambda_1+\lambda_2) \vec \epsilon) = \UL{ E(Z_1 + Z_2)} \] $E(Z) = E(\upsilon_0,\lambda,\vec \epsilon)$ ist eine holomorphe Funktion der zwei komplexen Argumente $\upsilon_0,\lambda$, und es gilt $|E| = e^{Z}e^{\bar Z} = e^{Z + \bar Z} = e^{2\upsilon_0}$ ($Z,\bar Z$ kommutieren).\\ Ein einfaches Beispiel ist $\vec \epsilon = \sigma_3$ also $\vec \upsilon = \lambda\sigma_3 = {\lambda,\;0\choose 0, \, -\lambda$, was ergibt $E(\upsilon_0+\vec \upsilon) = e^{\upsilon_0}e^{\lambda\sigma_3} = e^{\upsilon_0}(\cosh\lambda + \sinh\lambda\sigma_3) = e^{\upsilon_0}{ \cosh\lambda + \sinh\lambda,\quad 0\quad \choose \quad 0,\quad \cosh\lambda - \sinh\lambda} = e^{\upsilon_0}{e^\lambda,\,0\choose 0, \, e^{-\lambda}} = {e^{\upsilon_0+\lambda},\,0\choose 0, \, e^{\upsilon_0-\lambda}} $ \subsection{Matrix-Exponentialfunktionen & Lorentz-Transformationen} Speziell für $\upsilon_0 = 0$ ist $T \DEF E(\vec \upsilon) = e^{\vec \upsilon} $ unimodular: $|T| = e^{\vec \upsilon}e^{-\vec \upsilon}= 1,$ stellt also eine LT dar. (Damit sind alle eigenlichen LT darstellbar, weil $\vec \upsilon$ drei komplexe = 6 reelle Freiheitsgrade hat.)
Wenn $\vec \epsilon \DEF \vec e$ ein reeller Vektor ist (alle $e_k \in \RS$), gilt $\HC T = \HC{(e^{\lambda \vec \epsilon})} = e^{\HC{(\lambda \vec \epsilon)}} = e^{\lambda^\ast \vec e}.$ Dann gibt es wieder folgende Fälle (vergl Abs. \ref{sec-lt}):
Mit $T$ wird der Vektor $\vec x = \vec u t$, d.h. die MM $X \DEF ct + \vec u t = t(c+\vec u)$ in ein Ruhsystem abgebildet (vergl. Abs. \ref{sec-ruh}): $X' = T X \HC T = \frac t{1-b_k^2}(I+\vec b)(c+\vec u)(I+\vec b) = \frac {ct}{1- b_k^2}(I+\vec b)(I - \frac {2\vec b}{1+b_k^2})(I+\vec b).$\\ %' Da in diesem Produkt alle Matrizen kommutieren, ergibt sich $ \UL{ X' \DEF ct' + \vec x'} = \frac {ct}{1-b_k^2}(I+\vec b)^2(I - \frac {2\vec b}{1+b_k^2}) = \frac {ct}{1-b_k^2}(I+ 2\vec b + b_k^2)(I - \frac {2\vec b}{1+b_k^2}) = \frac {ct}{1-b_k^2}[1+ b_k^2 - \frac {4b_k^2}{1+b_k^2}]I = ct\frac {1-b_k^2}{1+ b_k^2}I = \UL{t\sqrt{c^2- u_k^2}I}, $\\ % ' also der Zeitpfeil der Eigenzeit $t' = \tau = t\sqrt{1- \frac{u_k^2}{c^2}} $ im neuen KS-Ursprung $\vec x' = 0$ (Ruhsystem).
'Reelle' Quaternionen sind hyperkomplexe Zahlen, die in der Form $\Q q \DEF q_0 + q_k\Q i_k = q_0 +\vec \Q q$ mit drei imaginären Einheiten $\Q i_1, \Q i_2,\Q i_3$
und vier reellen $q_\mu\in\RS$ geschrieben werden können.\\
Für die Einheiten gilt
$\Q i_k^2 = -1$ und $\Q i_1 \Q i_2 = -\Q i_2 \Q i_1 =\Q i_3$ (zyklisch), allgemein: $\UL{ \Q i_k \Q i_m = -\delta_{km} + \epsilon_{kmn}\Q i_n}.$\\
Vergleicht man das mit der Multiplikationsregel der drei Pauli-Matrizen $\sigma_k\sigma_m = \delta_{km} +i\epsilon_{kmn} \sigma_n,$ dann sieht man,
daß $\fbox \Q i_k \equiv -i\sigma_k$ \FN{
Explizit lautet die isomporphe Matrixdarst. der drei Q-Einheiten:
$\Q i_1 \equiv -i\sigma_1 = {0,-i\choose -i,\;0},\;\Q i_2 \equiv -i\sigma_2 = {0,-1\choose 1,\;0},\;\Q i_3 \equiv -i\sigma_3 = {-i,\,0\choose \;0,\,i} $
}
eine isomorphe Abbildung darstellt.
Die Addition ist trivial isomorph.
Für die Multiplikation der Einheiten folgt
$\Q i_k \Q i_m \equiv (-i\sigma_k)(-i\sigma_m) = -\sigma_k\sigma_m = -(\delta_{km} +i\epsilon_{kmn} \sigma_n)= -\delta_{km} + \epsilon_{kmn} (-i\sigma_n)\equiv -\delta_{km} + \epsilon_{kmn} \Q i_n.$
Beweis der Isomorphie \ST\ST
Ihre Matrixdarst. hat die explizite Form $Q = {q_0-iq_3,-iq_1 -q_2\choose -iq_1 + q_2,\;q_0+iq_3}\DEF{\alpha,-\beta^\ast\choose \beta,\;\alpha^\ast}$ mit $\alpha\DEF q_0-iq_3,\; \beta\DEF -iq_1 + q_2\in\CS$ und der Det $|Q| =|\alpha|^2 +|\beta|^2 = |\Q q|^2.$\\ Eine LT, die eine Drehung $T\DEF \cos\VP + i\sin\VP\, \vec e$ im R³ um die Achse $\vec e = e_k\sigma_k$ darstellt (siehe Abs. \ref{secmexp}), wird dann auf die Einheits-Quaternion $T \equiv \Q t \DEF \cos\VP - \sin\VP\, e_k \Q i_k$ abgebildet.\\ Damit ist die bekannte Quaternionenformel für Drehungen im R³ $\vec \Q q' = \Q {t \vec q \bar t}$ für eine Quaternion $\vec \Q q$ äquvalent zur LT-Formel $\vec q' = T \vec q \bar T$ ($q_0$ bleibt invariant).
\subsection{Matrizen & Biquaternionen}Die vollständige Algebra der 2x2-Matrizen ist isomorph zur Biquaternionen-Algebra (BiQ schreiben wir hier mit kleinen, fetten griech. Buchstaben, zB $\Q\pi$).\\ Das zeigt die Zerlegung einer allg. Matrix $P$ in quaternionische Anteile: $U\DEF \frac 12(P + \bar \HC P),\, V \DEF \frac 1{2i}(P - \bar \HC P),$ und es gílt $\UL{P = U +iV}$.\\ Da nach Def. $\bar \HC U = U,\, \bar \HC V = V$ gilt, sind $U$ und $V$ Q-Matrizen, die man isomorph auf 'reelle' Quaternionen abbilden kann: $U \equiv \Q u,\, V \equiv \Q v.$\\ Dann definiert die Größe $\UL{\Q\pi \DEF \Q u + i\Q v}$ eine Biquaternion, die isomorph zu $P$ ist $\fbox \Q\pi \equiv P$ (Die imaginäre Einheit $i$ kommutiert mit allen Quat. $i\Q u =\Q u i,$ da sie mit allen Matrizen kommutiert.)\\ Die Multiplikationsregel für zwei Biq. lautet darum: $\Q\pi_1\Q\pi_2 = (\Q u_1 + i\Q v_1)(\Q u_2 + i\Q v_2) = \Q u_1\Q u_2 - \Q v_1\Q v_2 +i(\Q u_1 \Q v_2+\Q v_1 \Q u_2),$ wie für komplexe Zahlen.\\
Die quaternionische Zerlegung ist dann $\Q\pi \DEF \pi_0 + \pi_k\Q i_k \DEF \pi_0 + \vec \Q \pi$ mit den vier $i$-komplexen Größen
$\pi_\mu \DEF u_\mu +iv_\mu \in\CS.$
Insofern stellen sie eine natürliche Verallgemeinerung der reellen Quaternionen dar.\\
(Im Unterschied dazu ist ihre Norm jedoch nicht positiv definit, denn $|\Q \pi|^2 \DEF \sum \pi_\mu^2\in\CS $ ist iA. komplex.)\\
Die Untermenge der Minkowski-Matrizen erfüllt $P = \HC P$ und ihre BiQ-Darstellung entsprechend
$\Q \pi = \pi_0 + \pi_k\Q i_k \stackrel != \HC {\Q\pi} = \pi_0^\ast - \pi_k^\ast\Q i_k.$\\
Folglich ist $\pi_0 \DEF p_0 \in\RS$ reell und
die drei Komponenten $\pi_k \DEF ip_k \in i\RS$ rein imaginär.
MM haben also die BiQ-Darstellung $\UL{\Q\pi = p_0 + ip_k \Q i_k = p_0 +i\vec \Q p}.$\\
Man bestimme die BiQ-Darstellung der Minkowski-Matrizen \ST\ST\ST
Eine allg. Lorentz-Transformation in BiQ-Form sei $\Q \tau \DEF \Q r +i\Q s\DEF \tau_0 +\vec\Q\tau$ und damit transformiert sich eine MM $\Q \pi$ LT-kovariant: $\Q \pi' = \Q{\tau\pi\tau}^\dagger$\\ %' Die Det-Bedingung lautet $|\Q\tau| = \Q\tau \bar \Q\tau = (\Q r+ i\Q s)(\bar\Q r+i\bar\Q s) = |\Q r|^2- |\Q s|^2 +i (\Q r\bar\Q s + \Q s\bar\Q r) \stackrel != 1,$ also $|\Q r|^2- |\Q s|^2 \stackrel != 1,\, \Q r\bar\Q s + \Q s\bar\Q r \stackrel != 0,$ bzw mit komplexen Q-Komponenten $|\Q\tau| = \Q\tau \bar \Q\tau = (\tau_0 +\vec\Q\tau)(\tau_0 -\vec\Q\tau) = \tau_0^2 - \vec\Q \tau^2= \tau_0^2 +\sum \tau_k^2 \stackrel != 1.$\\ Für $\Q s = 0$ ergibt sich, wie bekannt, die Untergruppe der R³-Drehungen als reelle Einheits-Q $\Q\tau = \Q r,\, |\Q r|^2 = 1.$\\ Für LT-Boosts gilt $\Q\tau = \Q r +i\Q s \stackrel != \HC{\Q\tau} = \bar \Q r -i\bar \Q s$. Also ist $\Q r = r_0$ skalar und $\Q s = - \bar \Q s$ eine reine Vektor-Q., mit $|\Q s|^2 = r_0^2 -1$
\section{2-Spinoren, Lorentz-Transformationen & Diracgleichung} \label{Spinoren}
Ein 2-Spinor (Weyl-Spinor) kann durch eine Spalten-Matrix $\Psi \DEF {\alpha\choose\beta}$
mit zwei komplexen Zahlen $\alpha,\beta\in\CS$ dargestellt werden.\\
Unter LT transformieren sie sich linear mit $T$ nach zwei verschiedenen Vorschriften $\fbox \Psi' = T\Psi$ (linkshändige Spinoren) bzw.
$\fbox \Phi' = \bar \HC T \Phi.$ (rechtshändige Spinoren).\\
Da für R³-Drehungen $\bar \HC T = T$ gilt, spielt diese Unterscheidung nur für Boosts eine Rolle.
Eine Drehung um 360° (dh $T=-1$) ändert – wie bekannt – das Vorzeichen jedes Spinors.\\
Aus den LT-Regeln folgt, daß die Bilinearformen $L\DEF \Psi\HC \Psi$ und $R \DEF \overline{\Phi \HC\Phi},$ die hermitesche 2x2-Matrizen ergeben, MM darstellen
(in diesem Fall lichtartige, da $|L| = |R| = 0$)
$L \DEF \Psi\HC \Psi = {\alpha\choose\beta} (\alpha^\ast,\beta^\ast) = {|\alpha|^2,\alpha\beta^\ast\choose\beta\alpha^\ast,|\beta|^2}$
ergibt $|L | = |\alpha|^2|\beta|^2 -\alpha\beta^\ast\beta\alpha^\ast = 0,$ $|R| = 0$ analog
Beweis von $|L| = 0$ \ST
Die Weyl-Spinoren kann man als 2x2-Spinor-Matrizen verallgemeinern mit $P\DEF (\Psi_1,\Psi_2).$ Dann wirkt eine LT auf beide Spalten $\Psi_k$ unabhängig: $P' = T P = (T \Psi_1, T\Psi_2) = (\Psi_1',\Psi_2').$\\ Daraus läßt sich eine bilineare herm. MM $\fbox M \DEF P\HC P$ ($\HC M =M$) mit korrektem LT-Verhalten $M' = T M\HC T$ bilden.\\ Diese ist wie die Energie-Impuls-MM $K$ (siehe Abs. \ref{sec-mech}) zeit-(licht-)artig: $|M| = ||P||^2\geq 0$ mit Zeitkomponente $m_0 \geq 0.$ \FN{ Lichtartigkeit $|M| = 0$ ergibt sich nur für $|P| = 0$ und $m_0 = 0$ nur im Fall $P=0.$ } \\ Die (nicht umkehrbare) Abbildung $P \to M$ läßt vermuten, daß die Spinor-Matrizen die fundamentalen Objekte der Raumzeit sind.
Man kann jedoch für gegebenes herm. $M $ eine Spinor-Matrix $P \DEF H U$ finden, die eine Umkehrformel liefert,
wenn man darin $H=\HC H$ (hermitesch) und $U\HC U = I$ (erweitert unitär) ansetzt. \\
Damit fogt $M = P\HC P = HU\HC U \HC H = H^2.$
Diese Gl. ergibt – analog Abs. \ref{sec-ruh} – eine (bis auf das Vz.) eindeutige Lösung für $H$ (und beliebiges $U$):\\
Die Det-Gl. ergibt $|M| = m_0^2-m_k^2 \DEF m^2 \stackrel != |H|^2 = (h_0^2-h_k^2)^2$ und
$M = m_0 + m_k\sigma_k \stackrel != H^2 = (h_0 +h_k\sigma_k)^2 = h_0^2 +h_k^2 + 2h_0 h_k\sigma_k.$\\
Mit $ m \stackrel != h_0^2-h_k^2$ und $ m_0 \stackrel != h_0^2+h_k^2$ erhält man $h_0 = \pm \sqrt{\frac {m+m_0} 2}$
und damit $2h_0h_k = \pm\sqrt{2(m+m_0)} h_k \stackrel != m_k.$ Die Lösung ist also $\UL{H = \pm\sqrt{\frac {m+m_0} 2}(I + \frac {m_k}{m+m_0}\sigma_k)}$
$H^2 = \frac {m+m_0} 2(1 + \frac {m_k}{m+m_0}\sigma_k)^2 = \frac {m+m_0} 2(1 + \frac {m_k^2}{(m+m_0)^2} + 2 \frac {m_k}{m+m_0}\sigma_k)
= \frac 1{2(m+m_0)}((m+m_0)^2 +m_k^2) + m_k\sigma_k = \frac 1{2(m+m_0)}(2m_0^2 +2m m_0) + m_k\sigma_k = m_0 + m_k\sigma_k = M.$ q.e.d.
Probe $H^2 = M$ \ST\ST
Die Lagrange-Dichte ist stets ein Skalar, der als Summe von Spuren von Matrix-Produkten gebildet wird: $\LAGR = \TR (AXB\cdots) + \TR(CDX\cdots) +\cdots $.\\ Um die Variations-Ableitung nach der Matrix $X$ zu berechnen, benutzt man die zyklische Vertauschungs-Regel für die Spur von Produkten und\\ normalisiert sie zu $\UL{\LAGR(X)} = \TR (XB\cdots A) + \TR(X\cdots CD) +\cdots = \UL{\TR (X Y)}$ mit der Matrix $Y\DEF B\cdots A + \cdots CD + \cdots$\\ Es sei $X \DEF x_\mu \sigma_\mu, \; Y \DEF y_\mu \sigma_\mu$. Die Variations-Ableitung nach $x_\mu$ ist dann $ \frac {\partial \LAGR}{\partial x_\mu} = \frac {\partial}{\partial x_\mu} (x_\mu\TR(\sigma_\mu Y)) = \TR(\sigma_\mu Y) = y_\nu \TR(\sigma_\mu \sigma_\nu) = y_\nu 2\delta_{\mu\nu}= 2y_\mu$ und damit $\sigma_\mu\frac {\partial \LAGR}{\partial x_\mu} = 2 \sigma_\mu y_\mu = 2 Y$.\\ Wir definieren also $\UL{\frac {\partial \LAGR} {\partial X} \DEF \frac 12\sigma_\mu\frac {\partial \LAGR}{\partial x_\mu}}$ und erhalten $ \UL{ \frac {\partial \TR (X Y)}{\partial X} = Y}.$ (Der Faktor $\frac 12$ ist eine Konvention, die keine direkte Auswirkung hat, da die Euler-Lagrange-Gln stets homogen sind.)\\ Falls $X$ auch in $Y$ auftaucht (bilineare Formen), muß das für jeden Faktor einzeln erfolgen (Produktregel).\\ Analoges gilt für das skalare Produkt von Spinoren, zB für $\LAGR = \HC\Phi \Psi =$skalar, wird definiert $\frac {\partial \LAGR}{\partial \HC\Phi} = \Psi.$
% Aufgaben-Muster