Aufgabe 2: Dirac-Gleichung

\fontsize{20} \fontfamily{'Times New Roman'} % schönste griech. Buchstaben \newcommand{\FN}{\footnote} \newcommand{\UL}{\underline} \newcommand{\UB}{\underbrace} \newcommand{\BE}{\begin{equation}} \newcommand{\EE}{\end{equation}} \newcommand{\lra}{\Leftrightarrow } \newcommand{\TR}{Ⲧ} % Trace-Symbol \newcommand{\HC}[1]{#1^\dagger} \newcommand{\CC}[1]{#1^\ast} \newcommand{\W2}{\frac 1{\sqrt 2}} \newcommand{\up}{\uparrow} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\VP}{\varphi} \newcommand{\Q}[1]{{\bf #1}} % Quaternion \newcommand{\link}[2]{#2} % HTTP-link mit 2 Argumenten

Dirac-Gleichung in der Weyl-Darstellung

Die Dirac-Gleichung lautet in der üblichen Darstellung (ohne äußeres Feld, das später hinzugefügt wird) $\fbox i\gamma^\mu \partial_\mu \VP = m\VP$ mit dem 4-Spinor (Bispinor) $\VP$, dem partiellen Differentialoperator $\partial_\mu \DEF \frac \partial{\partial x^\mu}$ und den vier 4x4-Dirac-Matrizen $\gamma^\mu$. Wir benutzen im folgenden die Weyl-Darstellung, denn die Lorentz-Transformation ist hier besonders einfach, weil sich die beiden 2-Spinoren unabhängig voneinander transformieren.\FN{ Landau-Lifschitz, Bd 4: QED – im Folgenden als 'LL' abgekürzt – S. 72; dort als 'Spinordarstellung' bezeichnet. } Außerdem ist sie die Grundlage für die verallgemeinerte Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung (siehe unten). Die allgemeine 4-Spinorform ist zwar mathematisch eleganter, hat aber viele Freiheitsgrade ohne physikalische Bedeutung.\\ Dafür ist $\gamma^0 \DEF {0,I\choose I,0} $ und $\gamma^k \DEF {0, -\sigma_k\choose \sigma_k,\; 0} $ also mit unseren Notationen allgemein $\fbox \,\gamma^\mu = {0,\bar \sigma_\mu\choose \sigma_\mu,0} $. Wir definieren die 2x2-Operator-Matrix $\partial \DEF \partial_\mu\sigma_\mu$\FN{ Bei LL bezeichnet als $i\partial \equiv \hat p_0 - {\bf \hat p\sigma}, \;i\bar \partial \equiv \hat p_0 + {\bf \hat p\sigma} $, mit $\hat p_0 = i\frac \partial{\partial t} $ und $ { \bf \hat p} = -i\nabla = -i\sigma_k\frac \partial{\partial x_k}$ } und erhalten $\fbox i{0,\bar\partial\choose \partial,0} \VP = m \VP$.\\ (Wir schreiben hier anstelle der 2x2-Nullmatrix $0_2 \DEF {0,0\choose 0,0}$ einfacher das Symbol $'0'$.)\\ Spaltet man nun den 4-Spinor $\VP$ in zwei 2-Spinoren $\Phi,\Psi$ (Weyl-Spinoren)\FN{ LL verwenden die Spinorbezeichnungen: $\xi \equiv \Phi,\; \eta \equiv \Psi$ } auf $\VP \DEF {\Phi\choose\Psi}$ erhält man das Gleichungs-Paar $i\bar\partial \Psi = m\Phi,\; i\partial \Phi = m\Psi$. Zur Komplettierung fügen wir ein 4-Vektor-Potential $A = A_\mu \sigma_\mu$ hinzu mittels $i\partial \to i\partial + eA$ und erhalten damit schließlich die Dirac-Gleichung in der Weyl-Darstellung als Gleichungs-Paar\FN{ Bei LL enthält die Bezeichnung $e$ für die Ladung eines Teilchens auch das Vorzeichen, so daß für ein Elektron $e = -|e|$ gilt (LL, S. XV). Hier bezeichnet $e$ die Ladung eines beliebigen Teilchens. } \BE \label{eq-1} (i\partial + eA) \Phi = m\Psi,\quad (i\bar\partial +e\bar A) \Psi = m\Phi \EE Hinweis: Wenn nicht besonders darauf hingewiesen, werden hier relativistische Einheiten $c=1$ und $\hbar = 1$ verwendet. In diesen Einheiten ist das Quadrat der Elementarladung die dimensionslose Konstante $\alpha \DEF e^2 \approx \frac 1{137}$ (LL Band 4, S. XV).

Algebra der Dirac-Matrizen

Man berechne den Antikommutator $\{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu} \} \DEF \gamma^{\mu}\gamma^{\nu} + \gamma^{\nu}\gamma^{\mu}$ in der Weyl-Darstellung:
Es gilt $ \gamma^{\mu}\gamma^{\nu} = {0,\bar \sigma_\mu\choose \sigma_\mu,0}{0,\bar \sigma_\nu\choose \sigma_\nu,0} = {\bar \sigma_\mu \sigma_\nu,\;0 \choose 0,\; \sigma_\mu \bar\sigma_\nu} $, folglich unter Benutzung der allgemeinen Matrix-Spur-Formel $A+\bar A = \TR(A) I$ (siehe Anhang) \[ \UL{\gamma^{\mu}\gamma^{\nu} + \gamma^{\nu}\gamma^{\mu}} = {\bar \sigma_\mu \sigma_\nu +\bar \sigma_\nu \sigma_\mu ,\;0 \choose 0,\; \sigma_\mu \bar\sigma_\nu + \sigma_\nu \bar \sigma_\mu} = {\TR(\bar \sigma_\mu \sigma_\nu)I ,\;0 \choose 0,\; \TR(\sigma_\mu \bar \sigma_\nu)I} = {2 \eta^{\mu\nu}I,\;0\choose 0,\; 2 \eta^{\mu\nu} I} = \UL{ 2 \eta^{\mu\nu} I_4} \] mit der im Anhang definierten Minkowski-Metrik $ \eta^{\mu\nu} = [1,-1,-1,-1]$
Eine wichtige fünfte Dirac-Matrix wird definiert durch $\gamma^5 \DEF i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ (LL, S. 78 benutzen die mit $ -1 $ multiplizierte Matrix $\gamma^5 \DEF -i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$). Diese soll in der Weyl-Darstellung berechnet werden und die Antikommutatoren $\{\gamma^5,\gamma^{\mu} \}$ dazu:
\[ \UL{\gamma^5} \DEF i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 = i {0, I\choose I,0} {0, \bar\sigma_1\choose \sigma_1, 0} \cdot {0, \bar\sigma_2\choose \sigma_2, 0}{0, \bar\sigma_3\choose \sigma_3, 0} = {\sigma_1,\, 0\choose 0,\, \bar\sigma_1}{i\bar\sigma_1,0\choose 0,i\bar\sigma_1} = i{-iI,\,0\choose\, 0,\; iI}= \UL{I,\;0\choose\, 0, -I} \] Für die Antikommutatoren erhalten wir $\gamma^5 \gamma^{\mu} = {I,\;0\choose\, 0, -I} {0,\bar \sigma_\mu\choose \sigma_\mu,0} = {0,\,\bar \sigma_\mu\choose -\sigma_\mu,0}$ und $\gamma^{\mu} \gamma^5 = {0,\bar \sigma_\mu\choose \sigma_\mu,0} {I,\;0\choose\, 0, -I} = {0,- \bar \sigma_\mu\choose\sigma_\mu, \; 0}$, also $\UL{\{\gamma^5,\gamma^{\mu} \} = 0_4}.$
Man zeige, daß die chiralen Projektionsoperatoren $P_{r,l}\DEF \frac {I_4\pm \gamma^5}2$ angewandt auf den 4-Spinor $\VP$ die oben definierten links- bzw. rechtshändigen Weyl-Spinoren $\Psi,\Phi$ erzeugen:
$P_r\VP = \frac {I_4 + \gamma^5}2\VP = \frac 12 {2I,0\choose 0,\, 0}{\Phi\choose\Psi} = {\Phi\choose 0}\DEF \VP_r$ und $P_l\VP = \frac {I_4 - \gamma^5}2\VP = \frac 12 {0,\,0\choose 0, 2I}{\Phi\choose\Psi} = {0\choose \Psi}\DEF \VP_l$

Beweis der Lorentz-Kovarianz

Man beweise die Kovarianz beider Gleichungen von \ref{eq-1} unter allgemeinen Lorentz-Transformationen, indem man die korrekten Transformations-Formeln für die 2-Spinoren $\Psi$ und $\Phi$ findet. Diese können als Spaltenvektoren nur von links mit einer 2x2-Matrix multipliziert werden, zB $\Psi \DEF{\alpha\choose\beta} \to \Psi' = X \Psi$ und $\Phi \to Y \Phi'$ mit zu bestimmenden Matrizen $X, Y.$ Dazu benutze man, daß $\partial,\,A$ Minkowski-Matrizen sind.
Die Lorentz-Transformation der Minkowski-Matrizen $\partial, A$ mit der Matrix $T$ ist bekanntlich $\partial \to \partial' = T\partial \HC T,\; A \to A' = TA\HC T$. Die Umkehrformeln lauten $\partial = \bar T \partial' \HC{\bar T},\; A = \bar T A' \HC{\bar T}.$\\ Eingesetzt in die 1. Gleichung von \ref{eq-1} erhalten wir $ (i\partial + eA) \Phi = \bar T (i\partial' + eA') \HC{\bar T}\Phi = m\Psi.$ Wir müssen also für die 2-Spinoren das Transformationsverhalten postulieren: $\UL{\Psi = \bar T \Psi'}\;(#)$ und $\UL{\Phi = \HC T\Phi'}\;(##)$.\\ Dann ergibt sich $ \bar T (i\partial' + eA') \HC{\bar T} \HC T \Phi' = m\bar T \Psi'$ und wegen $\HC T \HC{ \bar T} = I$ (Unimodularität) und nach Mult mit $T$ von links $\UL{ (i\partial' +eA') \Phi'=\Psi'}$, also dieselbe Gleichung wie \ref{eq-1} im gestrichenen Koordinatensystem, wie gefordert.\\ Analog folgt mit $i\bar \partial +e\bar A= \HC T (i\bar \partial' +e\bar A') T$, also $(i\bar\partial +e\bar A) \Psi = \HC T (i\bar \partial' +e\bar A') T \bar T \Psi' = \HC T (i\bar \partial' +e\bar A')\Psi' = m \HC T \Phi'$ die Kovarianz der 2. Gleichung, q.e.d.\\ Da für $R^3$-Drehungen $\bar T = \HC T$ gilt, transformieren sich beide Weyl-Spinoren dabei gleich.\\ Die Transformationsregel für die hermitesch konjugierten Zeilen-Spinoren $\HC \Psi,\HC \Phi$ ergibt sich aus $(#),(##)$ durch hermitesche Konjugation: $\HC\Psi = \HC\Psi' \bar \HC T $ und $\HC \Phi = \HC\Phi'\bar T$.\\ Daraus folgt u.a., daß für die skalare Größe $\mu\DEF \HC \Phi \Psi = \HC\Phi' \bar T T \Psi' = \HC\Phi'\Psi' =\mu' $ gilt, $\mu$ also eine Lorentz-Invariante darstellt (siehe auch Abs. 5 und 7).

% --- 5.8.23 eingefügt ---- Ergänzung: Bar-Operation für Spinoren

Man definiert eine Bar-Operation für Spinoren mit $\UL{\bar \Psi \DEF\Psi^T \sigma}$ mit $\sigma\DEF {\,0, \, 1\choose -1,0} = i\sigma_2$ also $\overline {\alpha\choose\beta} = (\alpha,\beta) {\,0, \, 1\choose -1,0} = \UL{(-\beta,\alpha)}.$\\ Sie entspricht den kontravarianten Komponenten eines Spinors (siehe zB. LL Band 3, S. 200), wird aber hier für relativist. (Weyl-)Spinoren verallgemeinert.\\ Trivial folgen die Beziehungen $\bar\Psi \Psi = 0,$ $\overline{\bar\Psi} = -\Psi$ und $\Psi^T = -\bar \Psi\sigma,$ da $\sigma^2 = -I.$\\ Die Op. ist konsistent mit der Bar-Op für Matrizen, wie man leicht zeigt: Es sei $P \DEF (\Psi,\Phi) \DEF {\alpha,\gamma\choose \beta,\delta}. $ Dann gilt $\bar P = {\;\delta, -\gamma\choose -\beta,\; \alpha} = {-\bar\Phi\choose \;\bar \Psi}$ und außerdem $|P| = \alpha\delta -\beta\gamma = \bar\Psi\Phi = -\bar\Phi \Psi.$\FN{ Der rechtsh. Anteil des Dirac-Stromes (s. Abs. 7) kann damit dargestellt werden in der Form $J^r \DEF \overline{\Phi\HC\Phi} = \bar \HC \Phi \bar\Phi.$ Mit einer Spinormatrix (s. Abs. 11) $P\DEF (\Psi, \bar \HC \Phi )$ hat dann der Gesamt-Dirac-Strom die Darstellung $J = J^l + J^r = P\HC P.$ } \\ Die Bedeutung dieser Op. ergibt sich aus der Verknüpfung mit den Lorentz-Transformationen: Für eine beliebige Matrix $T$ gilt: $\Psi' = T \Psi$ ist äquivalent zu $\bar \Psi' = \bar\Psi\, \bar T.$\FN{ Der Beweis kann einfach mit der Matrixdarstellung von $T$ explizit geführt werden, oder indem man die Zerlegung $T = t_\mu\sigma_\mu$ benutzt, und beachtet daß $\sigma_\mu^T = \pm \sigma_\mu,$ wobei das Vorzeichen nur für $\mu = 2$ negativ ist. Damit beweist man die für bel. T geltende Identität $\sigma T^T \sigma = -\bar T.$ }\\ Damit lassen sich also kovariante Formen aus Spinoren bilden. Wenn z. B. $\Psi$ ein linksh. Weyl-Spinor ist, der sich mit $\Psi \to \Psi' = T\Psi $ transformiert, dann transformiert sich die Matrix $\UL{F\DEF \Psi\bar\Psi}$ mit $ F\to F'= TF\bar T.$\\ Genauso transformiert sich dann auch eine bel. Potenz $F^n\to T F^n \bar T$ (beachte $\bar T T =I$), die also ebenfalls ein kov. Ausdruck ist (wobei hier speziell gilt $F^2 = \Psi\UB{\bar\Psi\, \Psi}_{=0}\bar\Psi= 0,$ also $F^n = 0 $ für alle n > 1.) % ---- Emacs-Editor-Warnung: niemals ein einzelnes '<' oder '>' Zeichen benutzen: stört korrektes highlighting -----

Beweis der U(1)-Eichinvarianz von Gl. (1)

Unter der $U(1)$-Eichinvarianz versteht man die innere Symmetrie der Dirac-Gleichung unter der (skalaren) abelschen Gruppe $U = e^{i\Lambda}$. Man zeige, daß diese innere Transformation mit der Eichinvarianz des Vektorpotentials $A$ verknüpft ist:
Die U(1)-Invarianz ist einfach zu beweisen: Wir substituieren mit $U = e^{ie\lambda}$ mit einer reellen Funktion $\lambda(x)$: $\Psi = \Psi' e^{ie\lambda}, \; \Phi = \Phi' e^{ie\lambda}$ Damit folgt $\partial \Phi = \partial (\Phi' e^{ie\lambda}) = ((\partial \Phi') +ie(\partial\lambda) \Phi') e^{ie\lambda} $, also in der 1. Gleichung \BE (i\partial + eA) \Phi = (i(\partial \Phi') - e(\partial\lambda) \Phi' +eA \Phi') e^{ie\lambda} = m\Psi' e^{ie\lambda} \EE Wir erhalten also die ident. Gleichung $(i\partial - e \partial\lambda +eA) \Phi' = (i\partial + eA') \Phi' = m\Psi'$, wenn man setzt $\UL{A' = A - \partial\lambda}, $ also die übliche Eichinvarianz des Vektorpotentials $A.$\\ Das Gleiche gilt für die 2. Gleichung, weil dann auch gilt $\bar A' =\bar A - \bar\partial\lambda$, q.e.d.

Freie Teilchen als ebene Welle

Für freie Teilchen ($A= 0$) reduzieren sich die Gleichungen \ref{eq-1} auf $ i\partial\Phi = m\Psi,\; i\bar\partial\Psi = m\Phi$. Für ein ruhendes Teilchen ($\partial = \bar\partial = \partial_0$) folgt damit eine Lösung $\Psi = \Phi = \psi_0 e^{-imt} $ mit bel. $\psi_0 = const.$ Sie beschreibt den Grenzfall eines T., das sich homogen im ganzen Minkowskiraum 'verteilt'.\FN{ Um die Normierungsbedingung zu erfüllen, wird üblicherweise angenommen, daß es sich nur in einem begrenzten Raumvolumen befindet, außerhalb dessen $\psi = 0$ gilt. } Es soll der allgemeine Ansatz für ebene Wellen angegeben und gelöst werden:
% ergänzt 11/23 Durch Einsetzen folgt sofort $\partial\bar\partial\Psi = \Box\Psi = -m^2\Psi$. Darin ist $\Box = \partial_0^2 -\partial_k^2 = \partial_0^2 -\nabla^2$ ein skalarer Operator, so daß die Gleichungen für die Spinorkomponenten entkoppelt sind (sie erfüllen die 'Klein-Gordon-Gleichung').\\ Wir können also zB ebene Wellen dafür ansetzen $\Psi = \Psi_0 e^{i\VP(x^\mu)}$. Die relativistisch kovariante Wellenphase $\VP(x^\mu) $ einer ebenen Welle hat mit dem Wellenzahlvektor $K \DEF k_\mu\sigma_\mu = k_0 +\vec k$ die Darstellung $\VP = -k_\mu x^\mu = -\frac 12\TR (K\bar X).$\\ Folglich ist $\partial_\mu \VP = -k_\mu $ und damit $\partial \VP = - k_\mu\sigma_\mu = -K$ und $\partial e^{i\VP} = -iK e^{i\VP}$. Damit erhalten wir $\Box \Psi = -K\bar K \Psi = (-k_0^2 + |\vec k|^2)\Psi$, also $ k_0^2 - |\vec k|^2 \stackrel != m^2$. Folglich ist $K $ gleich dem Energie-Impuls-Vektor und $k_0 =\pm\sqrt{m^2 + |\vec k|^2}$ die relativist. Energie.\\ (Die Zustände mit negativer Energie sind für freie Teilchen physikalisch nicht sinnvoll, werden aber bei der 2. Quantisierung als ebene Wellen mit 'negativen Frequenzen' benutzt, LL S. 36)\\ Für die Spinoramplituden ergeben sich aus der Dirac-Gl. \ref{eq-1} die Beziehungen $K\Phi_0 = m\Psi_0,\; \bar K\Psi_0 = m\Phi_0$

Lorentz-Transformationen und Spin

Erläuterungen zur Spinrichtung eines 2-Spinors & Quaternionen-Darstellung

Jeder normierte 2-Spinor $\Psi \DEF {\alpha\choose \beta},\; |\Psi|^2 = |\alpha|^2+ |\beta|^2 = 1$ hat drei reelle Freiheitsgrade und kann damit in der 'Standardform' $\Psi = e^{i\mu}\,{\cos\frac \theta 2 e^{-i\frac \VP 2} \choose \sin\frac\theta 2e^{i\frac \VP 2}} = e^{i(\mu - \frac \VP 2)}\,{\cos\frac \theta 2 \choose \sin\frac\theta 2e^{i\VP}} $ dargestellt werden, mit einer hier unwichtigen Phase $\mu.$ Wie unten gezeigt wird, ist die Richtung des Spins dann gegeben als polarer Einheits-Raumvektor in kartesischen Koordinaten $\vec x = (x,y,z) $ mit $\UL{x +iy= \sin\theta e^{i\VP},\, z=\cos\theta}, $ mit den üblichen Polarkoordinaten als Polarwinkel $\theta \in [0,\, \pi ] $ und Azimut $ \VP \in [0,\, 2\pi ]$ des xyz-Koordinatensystems.\FN{ Eine Drehung um die z-Achse $\VP \to \VP + 2\pi$ ergibt wie erforderlich eine Vorzeichenänderung $\Psi \to -\Psi.$ } Das bedeutet, wenn eine Spinmessung (zB Stern-Gerlach-Experiment) in exakt dieser Richtung $\vec m = \vec x$ ausgeführt wird, ist das Ergebnis mit Sicherheit (zu 100 Prozent) der Eigenwert $s_\up = +\frac 12.$\\ Allgemein gilt: Wenn der Winkel zwischen $\vec x$ und dem Meßapparat $\vec m$ gleich $\lambda$ ist (also $\vec m\cdot \vec x = \cos\lambda$), dann ist die Wahrscheinlichkeit für $s_\up = +\frac 12 \DEF p_{+\frac 12}(\lambda) = \cos^2(\frac \lambda 2)$ und für den anderen Eigenwert $s_\down = -\frac 12,\; p_{-\frac 12}(\lambda) = \sin^2(\frac \lambda 2).$ Für die Messung in entgegengesetzter Richtung $-\vec x,\; \lambda = 180°$ gilt zB (mit Sicherheit) $p_{+\frac 12} = 0$ und $ p_{-\frac 12} = 1$. (Nach den Postulaten der Quantenmechanik können nur die beiden Eigenwerte $s_{\up.\down} = \pm \frac 12$ als Meßwerte auftreten.)\\ Mit den Spinorkomponenten $\alpha,\beta$ ausgedrückt ergeben sich die Koordinaten als die Bilinearformen $x+iy = 2\alpha^\ast\beta$ und $z = |\alpha|^2 - |\beta|^2$.\\ Die Richtung des Spins ist dann der Vektor-Anteil $x_k\sigma_k$ der Minkowski-Matrix \BE M \DEF \Psi\HC\Psi = {\alpha\choose \beta}(\alpha^\ast,\,\beta^\ast) = {|\alpha|^2,\,\alpha\beta^\ast\choose \beta\alpha^\ast,\,|\beta|^2} = {\cos^2\frac \theta 2,\; \cos\frac \theta 2 \sin\frac\theta 2e^{-i\VP} \choose \cos\frac \theta 2 \sin\frac\theta 2e^{i\VP},\; \sin^2\frac \theta 2} = {\frac 12(1+\cos\theta),\; \frac 12 \sin\theta e^{-i\VP}\choose \frac 12 \sin\theta e^{i\VP},\; \frac 12(1-\cos\theta)} = \frac 12{t+z,\, x-iy\choose x+iy,\,t-z} = \frac 12(t\cdot I_2 + x_k\sigma_k) \EE mit $t = 1$ (LL, Bd 4, S. 62 & S. 81). $M$ stellt einen Minkowski-Nullvektor $t^2-x_k^2 = 0$ dar, da $|M| = |\alpha|^2|\beta|^2 - \alpha\beta^\ast\beta\alpha^\ast =0$ gilt.\\ (Vergl. dazu auch die Definition des links- und rechtshändigen Anteils des Dirac-Stroms aus den Weyl-Spinoren $\Psi,\Phi$ in Abs. 7: $J^l \DEF \Psi\HC \Psi$ und $J^r \DEF \overline{\Phi\HC\Phi}.$)\\ Ein Spinor in entgegengesetzer Raumrichtung $-\vec x$ (Spiegelung), der auch als 2. Basisvektor zur Vervollständigung des Zustandsraumes benötigt wird, ergibt sich als $\Phi \DEF {-\beta^\ast\choose \alpha^\ast} = e^{-i\mu}\,{ -\sin\frac\theta 2 e^{-i\frac \VP 2}\choose \cos\frac \theta 2e^{i\frac \VP 2}}$.\FN{ Dieser Spinor kann mit der oben definierten Bar-Operation geschrieben werden als $\Phi = \bar \HC \Psi$ }\\ Für die Polarkoordinaten bedeutet das $\UL{\theta \leftrightarrow \pi -\theta,\; \VP \leftrightarrow \VP \,\pm\, \pi}.$\\ Allgemein folgt damit, daß die Richtungen zweier Spinoren $\chi = {\alpha\choose \beta},\;\phi = {\gamma\choose\delta}$ genau dann antiparallel sind, wenn die Gleichung $\HC\phi \chi = \gamma^\ast\alpha + \delta^\ast \beta = 0$ erfüllt ist (äquivalent zu $ \frac\alpha\beta (\frac\gamma\delta)^\ast = -1$, s.u.)\\ Die beiden oben definierten Spinoren $\Psi$ und $\Phi$ sind Eigenfunktionen des 'Richtungs-Operators' $\UL{S \DEF \frac 12 x_k\sigma_k} = M-\frac I2$ zu den Eigenwerten $\pm\frac 12,$ wie man leicht aus der Darstellung $ M-\frac I2 = {\alpha\choose \beta}(\alpha^\ast,\,\beta^\ast) - \frac I2$ ausrechnet: $\UL{S\Psi} = S{\alpha\choose \beta} = {\alpha\choose \beta}\UB{(\alpha^\ast,\,\beta^\ast) {\alpha\choose \beta}}_{= 1} - \frac 12 {\alpha\choose \beta} = +\frac 12 {\alpha\choose \beta} = \UL{+\frac 12\Psi}$ und $\UL{S \Phi} = S {-\beta^\ast\choose \alpha^\ast} = {\alpha\choose \beta}\UB{(\alpha^\ast,\,\beta^\ast) {-\beta^\ast\choose \alpha^\ast}}_{=0} - \frac 12 {-\beta^\ast\choose \alpha^\ast} = - \frac 12 {-\beta^\ast\choose \alpha^\ast} = \UL{-\frac 12\Phi}$ qed.\\ Damit läßt sich jeder beliebige 2-Spinor als Linearkombination dieser beiden Eigenspinoren darstellen $\phi = \mu\Psi + \nu\Phi$, was zB für die Darstellung ebener Wellen für Bispinoren der Dirac-Gleichung nützlich ist (LL, Bd 4, S. 81).\\ Sie lassen sich auch mit einer $R^3$-Drehung (unitäre Transformations-Matrix) $T \DEF {\cos\frac \theta 2e^{-i\frac \VP 2}, -\sin\frac\theta 2e^{-i\frac \VP 2}\choose \sin\frac\theta 2e^{i\frac \VP 2},\quad \cos\frac \theta 2e^{i\frac \VP 2}}$ aus den Eigenspinoren in z-Richtung erzeugen: $\Psi = T{1\choose 0}$ und $\Phi = T{0\choose 1}.$\\ $T$ beschreibt dabei eine zusammengesetzte Drehung: 1. um die y-Achse ($T_y$) um den Winkel $-\theta$ und 2. um die neue z-Achse ($T_z$) um $-\VP$ (der rechte Op wird zuerst angewandt): $ T = T_z T_y = {e^{-i\frac \VP 2}, 0\choose 0,\; e^{i\frac \VP 2}} {\cos\frac \theta 2, -\sin\frac\theta 2 \choose \sin\frac\theta 2,\; \cos\frac \theta 2} = e^{-i\frac \VP 2\sigma_3} e^{-i\frac \theta 2\sigma_2}.$\\
2-Spinoren und die komplexe Zahlenebene\\ % --------- 4.3.2022 eingefügt ---------- Die Richtung des Spins im Raum kann auch durch eine komplexe Zahl $\zeta$ beschrieben werden: den Quotienten der Spinorkomponenten $\Psi \DEF {\alpha\choose \beta} \to \UL{\zeta \DEF \frac\alpha\beta = \cot\frac\theta 2e^{-i\VP}}$. Das entspricht einer Abbildung der komplexen Zahlenebene auf die riemannsche Zahlenkugel. Die kartesischen Koordinaten für die Spinrichtung sind damit $z = \cos\theta = \frac {|\zeta|^2-1}{|\zeta|^2+1}$ und $x+iy = \sin\theta e^{i\VP} = \frac {2\zeta^\ast}{|\zeta|^2+1}.$ Daraus erhält man auch die Formel $\zeta = \frac{x-iy}{1-z}$, wobei stets zu beachten ist, daß auf der Einheitskugel natürlich gilt $x^2+y^2+z^2 \stackrel != 1$ und äquivalent dazu auch $(x+iy)(x-iy) \stackrel != (1+z)(1-z)$.\\ (Die Abbildung $(x,y,z) \lra \zeta$ kann natürlich unabhängig von der Ableitung aus der Spinorformel definiert werden.)\\ Der Südpol ($ (0,0,-1) \equiv \Psi_\down = {0\choose 1}$) wird also auf $\zeta = 0$ abgebildet, der Äquator auf den Einheitskreis $|\zeta| = 1$ und der Nordpol ($ (0,0,+1) \equiv \Psi_\up = {1 \choose 0}$) auf den unendlichen Punkt $\zeta =\infty$. Das Innere/Äußere des Einheitskreises ist die Süd/Nord-Halbkugel.\\ Ganz allgemein entsprechen Kreise auf der Einheitskugel auch Kreise in der $\zeta$-Ebene.\FN{ Zum Beweis betrachtet man einen Kreis $K_r(t)$ auf der Einheitskugel, dessen Mittelpunkt auf der z-Achse liegt: $\vec x_0 = (0,0,z_0)$. Dafür gilt $x+iy = re^{it},$ wobei $r^2 + z_0^2 = 1.$ Er hat das Kreis-Abbild $\zeta(t) = \frac r{1-z_0}e^{-it}.$ Durch eine Drehung des KS kann man $K_r(t) \to K_r'(t)$ in jeden anderen Kreis mit Radius $r$ auf der Einheitskugel transformieren, was wie unten beschrieben einer gebrochenlinearen Abbildung $\zeta\to \zeta'$ entspricht, wobei also $\zeta'(t')$ wiederum ein Kreis ist. } (Kreise, die den Nordpol enthalten, müssen dabei als Grenzfall auf Geraden abgebildet werden, da diese den 'Punkt' $\zeta =\infty$ enthalten.) \\ Eine beliebige Lorentz-Transformation des Spinors ${\alpha'\choose \beta'} = \UB{\mu,\nu\choose\lambda,\epsilon}_{\DEF T}{\alpha\choose \beta}$ wird dann zu: $\zeta \to \UL{\zeta' = f_T(\zeta)} = \frac{\alpha'} {\beta'} = \frac {\mu\alpha+\nu\beta}{\lambda\alpha+\epsilon\beta} = \UL{\frac {\mu\zeta+\nu}{\lambda\zeta+\epsilon}} \DEF T \circ \zeta$ (in der Notation von Altmann) – eine gebrochenlineare Abbildung (auch als 'Möbius-Transformation' bezeichnet), die eine spezielle konforme Abbildung der Funktionentheorie ist. Diese Abbildung überführt Kreise in der $\zeta$-Ebene wieder in Kreise in der $\zeta'$-Ebene ('Kreisverwandschaft'), wobei Geraden als Kreise mit $r\to \infty$ aufgefaßt werden.\FN{ % Fußnote eingefügt 25. - 30.3.2022 Das folgt zum Beispiel daraus, daß man jede gebrochenlineare Abbildung in drei Schritten erzeugen kann (Siehe zB. Bronstein 'Taschenbuch der Mathematik', Konforme Abbildung):\\ 1. Lineare Abbildung: $\zeta_1 = \lambda\zeta+\epsilon$\\ 2. Inversion: $\zeta_2 = \frac 1{\zeta_1}$\\ 3. Lineare Abbildung: $\zeta' = \frac \mu\lambda + \frac {\nu\lambda -\mu\epsilon}\lambda \zeta_2 \; (= \frac {\mu\zeta+\nu}{\lambda\zeta+\epsilon})$\\ Daß die Schritte 1. und 3. kreisverwandte Abbildungen sind, ist trivial. Beweis für den Schritt 2. (Inversion): Der Einheitskreis wird dargestellt als $\zeta(\VP) = e^{i\VP} = \frac { e^{i\frac \VP 2}}{ e^{-i\frac \VP 2}} = \frac{\cos\frac \VP 2 + i\sin\frac \VP 2} {\cos\frac \VP 2 - i\sin\frac \VP 2} = \frac{1 + i\tan\frac \VP 2}{1 - i\tan\frac \VP 2} $ also $ \zeta(t) = \frac{1 + it}{1 - it}$ mit $t \DEF \tan\frac \VP 2 \in [-\infty, \infty]$\\ Die Inversion $\zeta' = \frac 1\zeta$ soll Kreise in Kreise überführen. Wir setzen als Ursprungs-Kreis $\zeta(t) =\zeta_0(1 + s\frac{1 + it}{1 - it})$ mit reellen $s,t$ an, d.h. sein Mittelpunkt ist $\zeta_0$ und der Radius $r = |\zeta_0|s$. Seine Abbildung ist\\ $ \zeta' = \frac 1{\zeta(t)} = \frac 1 {\zeta_0} \frac 1 {1 + s\frac{1 + it}{1 - it}} = \frac 1 {\zeta_0} \frac {1 - it} {1 -it + s(1 + it)} =\frac 1 {\zeta_0} \frac {1 - it} {s+1 + it(s-1)}.$ Darin substituieren wir $t = t'\frac {s+1}{s-1},$ was ergibt $\zeta' = \frac 1 {\zeta_0} \frac {1 - i t'\frac {s+1}{s-1}} {(s+1)(1 + it')} = \frac 1 {\zeta_0} \frac {(s-1) - i t'(s+1)} {(s^2-1)(1 + it')} = \frac 1 {\zeta_0 (s^2-1)} (s\frac {1 - i t'} {1 + it'} -1) = \UL{\frac 1 {\zeta_0 (1- s^2)} (1 -s\frac {1 - i t'} {1 + it'})}.$\\ Das ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt $\zeta_0' = \frac 1 {\zeta_0 (1- s^2)}$ und dem Radius $r' = |\zeta_0'|s = \frac r{|\zeta_0|^2 (1- s^2)}.$\\ Für den Spezialfall $ s=1$ geht der Kreis durch den Urspung ($\zeta = 0$, Südpol), der bei der Inversion auf den Nordpol abgebildet wird. Seine Abbildung ist dann $\zeta'(t) = \frac 1 {\zeta_0} \frac 1 {1 + \frac{1 + it}{1 - it}}= \UL{\frac 1 {\zeta_0} \frac {1 -it} 2},$ also eine Gerade durch den Punkt$ \frac 1{2\zeta_0}$ (und senkrecht dazu).\\ Der zweite Spezialfall $\zeta_0 = 0$ ist trivial: $\zeta(t) = re^{it},\; \zeta'(t) = \frac 1r e^{-it}$.\\ } \\ Für die gebrochenlineare Abbildung kann die Forderung der Unimodularität $|T| = \mu\epsilon -\nu\lambda \stackrel != 1$ durch die schwächere Bedingung $|T|\neq 0$ ersetzt werden, da sich ein beliebiger gemeinsamer Faktor $T\to \gamma T$ herauskürzt; und auch $-T$ ergibt dieselbe Abbildung wie $T$. (Für $ \mu\epsilon = \nu\lambda $ wird die Abbildung singulär, da $ f_T(\zeta) = \frac \nu\epsilon =const.$)\\ Für $|T|\neq 0$ ist die inverse Abbildung von $\zeta' = T\circ\zeta$ bestimmt mit $\zeta =\frac {\epsilon\zeta' -\nu}{-\lambda\zeta'+\mu} = \bar T\circ \zeta'$, also die adjunkte Matrix $\bar T = {\;\epsilon, -\nu\choose -\lambda,\; \mu},$ womit die Gruppeneigenschaft leicht beweisbar ist.\\ Der Antipoden-Punkt (die Spiegelung) zu $\zeta$ ist $\bar \zeta \DEF -\frac{\CC \beta}{\CC\alpha} = -\frac 1{\CC\zeta}$. Folglich sind zwei Punkte $(\zeta,\eta)$ in der $\zeta$-Ebene Antipoden, gdw. die Relation $\UL{\zeta\CC\eta = -1}$ erfüllt ist. Wegen $\eta\CC\zeta = -1 $ gilt nat. auch die Umkehrung.\\ Diese Relation bleibt unter allg. Lorentz-Transformationen $T$ nicht erhalten, aber unter beliebigen unitären Transformationen (dh. R³-Drehungen $\bar T = \HC T$): $ T = {\mu,-\CC\lambda\choose\lambda,\;\CC\mu},$ denn dann folgt für beliebige $\mu,\lambda$ mit $\zeta\CC\eta =-1$: \BE \UL{\zeta' \CC{\eta'}} = \frac {\mu\zeta -\CC\lambda}{\lambda\zeta+\CC\mu} (\frac {\mu\eta -\CC\lambda}{\lambda\eta+\CC\mu})^\ast = \frac {\mu\zeta -\CC\lambda}{\lambda\zeta+\CC\mu} \frac {\CC\mu\CC\eta - \lambda}{\CC\lambda\CC\eta +\mu} = \frac{|\mu|^2\zeta\CC\eta - \CC\lambda\CC\mu\CC\eta -\mu\lambda\zeta +|\lambda|^2} {|\lambda|^2\zeta\CC\eta + \CC\lambda\CC\mu\CC\eta + \mu\lambda\zeta+|\mu|^2} = \frac{-|\mu|^2 - \CC\lambda\CC\mu\CC\eta -\mu\lambda\zeta +|\lambda|^2} {-|\lambda|^2 + \CC\lambda\CC\mu\CC\eta + \mu\lambda\zeta+|\mu|^2} =\UL{ -1}\quad \mbox{qed.} \EE
Quaternionen-Darstellung von 2-Spinoren:\\ Der Hauptvorteil der Quaternionen-Darstellung besteht darin, daß sich sowohl die 2-Spinoren, als auch $R^3$-Vektoren und $R^3$-Drehungen (unitäre Matrizen) in dieser Form darstellen lassen.\\ Quaternionen sind definiert als hyperkomplexe Zahlen $\Q q \DEF s+ix+jy +kz$ mit drei imaginären Quaternion-Einheiten $i,j,k$, für die gilt $i^2=j^2=k^2=-1$ und $ij= -ji = k$ (zyklisch).\\ Sie haben genau wie Spinoren $\Psi \DEF {\alpha\choose \beta} = {a+ib\choose c+id} $ vier reelle Freiheitsgrade, es gibt folglich $2^4\times 4! = 384$ mögliche eineindeutige Abbildungen $\Psi \Leftrightarrow \Q q$, dh $(a,b,c,d) \Leftrightarrow (\pm s,\pm x,\pm y,\pm z)$, von denen viele isomorph sind. Für alle Abbildungen gilt, daß die Norm der Quaternion gleich der Spinor-Norm ist $|\Q q|^2 = \Q { q\bar q} = |\Psi|^2 = |\alpha|^2 +|\beta|^2$.\\ Eine systematisch abgeleitete Abbildung erhält man zB, wenn man die Isomorphie der drei Matrizen $i_k \equiv -i\sigma_k$ (Pauli-Matrizen) zu den drei imaginären Quaternion-Einheiten (hier zur Vermeidung von Verwechslungen mit $i_k$ bezeichnet) benutzt, und auch den Spinor $\Psi$ zu einer 'Quaternion-Matrix' erweitert $Q \DEF {\alpha, -\beta^\ast \choose \beta,\;\alpha^\ast} = \HC{\bar Q}$. Diese Subalgebra der 2x2-Matrizen ist isomorph zu den Quaternionen.\\ Die einfachste Abbildung ergibt sich aber, wenn man die imaginäre Einheit der Spinoren $i$ mit der Quaternion-Einheit $i$ identifiziert und festlegt $\UL{\Q q \DEF \alpha +j\beta} = a+ib +j(c+id) = a+ib +jc -kd.$ Dann entspricht jedem z-up-Spinor eine Quaternion der Form $\Q q = \alpha$ (Komponenten $1,i$) und jedem z-down-Spinor eine Quaternion der Form $\Q p = j\beta$ (Komponenten $j,k$).\\ Wegen der Antikommutativität $ij=-ji$ gilt allgemein $\UL{j\beta = \beta^\ast j}$, und ein komplexer Faktor $\mu$ beim Spinor $\Psi \to \mu\Psi$ ($\alpha \to \mu\alpha,\, \beta\to \mu\beta$) entspricht einer rechtsseitigen Multiplikation der Quaternion $\Q q \to \Q q \mu.$\\ Die konjugierte Quaternion ist definiert als $\bar\Q q = a- ib - j(c+id) = \alpha^\ast -j \beta$.\\ Benutzt man die obige Polarkoordinaten-Darstellung von $\Psi$, ergibt sich eine elegante Darstellung der Einheits-Quaternion $\UL{\Q q} = \alpha +j\beta = \cos\frac \theta 2 e^{-i\frac \VP 2} + j \sin\frac\theta 2e^{i\frac \VP 2} = e^{-i\frac \VP 2} (\cos\frac \theta 2 + j \sin\frac\theta 2) = \UL{e^{-i\frac \VP 2} e^{j\frac \theta 2}}.$\FN{ Wegen der Nichtkommutativität darf man die Argumente der Exponentialfunktionen nicht addieren $e^{-i\frac \VP 2} e^{j\frac \theta 2} \neq e^{-i\frac \VP 2 +j\frac \theta 2};$ ein Ausdruck der Form $e^{ix+jy}$ ist nicht wohldefiniert}\\ Diese Darstellung korrespondiert zur oben definierten Spinor-Dreh-Transformation $T=T_zT_y$.\\ Eine einfache Bilinearform, die sich wie ein $R^3$-Vektor transfomiert, ist $\UL{\Q x \DEF \Q q i \bar \Q q}$. Sie ist rein imaginär: $\bar\Q x = \overline{\Q q i \bar \Q q} = \Q q (-i) \bar \Q q = -\Q x$. Die obige rechtss. Multiplikation $\Q q \to \Q q \mu$ ergibt $\Q x \to \Q q\mu i\mu^\ast \bar \Q q = |\mu|^2 \Q x,$ ändert also die Richtung nicht (wie erforderlich).\FN{ Die Auszeichnung der Quaternion-Einheit $i$ entspricht der Auszeichnung der $z$-Koordinate der Spinoren }\\ Einsetzen der Spinor-Definition ergibt $\Q x = \Q q i \bar \Q q = (\alpha +j\beta)i( \alpha^\ast -j \beta) = i(|\alpha|^2- |\beta|^2) - 2k\beta\alpha^\ast = iz-k(x+iy) =\UL{ iz - jy - kx},$ wobei $\vec x = (x,y,z) $ wie oben gezeigt, die Richtung des Spins ist.\FN{ Um diese mit dem Quaternionen-Koordinatensystem $ijk$ in Übereinstimmung zu bringen, muß man eine Drehung um die $j$-Achse um 90° mit $\Q t \DEF \W2(1+j)$ vornehmen: $\Q q' = \Q{tq},$ mit der wir erhalten $ \Q x' = \Q{tx\bar t} = \frac 12 (1+j)( iz - jy - kx) (1-j) = -ix -jy -kz \equiv \UL{ -\vec x}.$}\\ Zur Probe: Der antiparallele Spinor $\Phi \DEF {-\beta^\ast\choose \alpha^\ast} $ hat die Darstellung $\Q p \DEF -\beta^\ast + j\alpha^\ast = (\alpha + j\beta) j = \UL{\Q q j}$ und damit $\Q x(\Q p) = \Q p i \bar \Q p = (\Q q j)i(-j\bar \Q q) = -\Q q (jij)\bar \Q q = -\Q q i\bar \Q q = -\Q x(\Q q)$ qed.
Man berechne die Wirkung des Lorentz-Boosts (A) $T = \cosh\frac \lambda 2 + \sinh\frac\lambda 2 \sigma_3$ und der $R^3$-Rotation (B) $T = \cos\frac \lambda 2 + i\sin\frac\lambda 2 \sigma_3$ von Aufgabe 1 auf ein ruhendes Teilchen für drei Spezialfälle: a) Spin-up $\psi_\up = {1\choose 0}$, b) Spin-down $\psi_\down = {0\choose 1}$, c) Spin in +x-Richtung $\psi_x = \W2 {1\choose 1}$ (als Eigenvektor zu $\hat s_x = \frac 12 \sigma_1$ zum Eigenwert $+\frac 12$). Der Phasenfaktor ist in allen Fällen gleich und sei hier oB.
Fall (A): Einsetzen ergibt $T = \cosh\frac \lambda 2 + \sinh\frac\lambda 2 \sigma_3 = { \cosh\frac \lambda 2 + \sinh\frac\lambda 2,\quad 0 \choose 0,\quad \cosh\frac \lambda 2 - \sinh\frac\lambda 2} = {e^{\frac\lambda 2},\;0 \choose 0,\; e^{-\frac\lambda 2}}$ und damit $\HC{\bar T} = {e^{-\frac\lambda 2},\;0 \choose 0,\; e^{\frac\lambda 2}}.$ Nach Abs. 2 transformieren sich die Weyl-Spinoren mit $\Psi' = T\Psi,\; \Phi' = \HC{\bar T}\Phi$ (Umkehrformeln!).\\ Wir erhalten also a) $\Psi_\up' = { e^{\frac\lambda 2}\choose 0},\; \Phi_\up' = { e^{-\frac\lambda 2}\choose 0}$ b) $\Psi_\down' = {0\choose e^{-\frac\lambda 2}},\; \Phi_\down' = {0 \choose e^{\frac\lambda 2}}$ und c) $\Psi_x' = \W2 {e^{\frac\lambda 2} \choose e^{-\frac\lambda 2}},\; \Phi_x' = \W2 { e^{-\frac\lambda 2} \choose e^{\frac\lambda 2}}$\\ Die relativist. Geschwindigkeit des Koordinatensystems ist, wie in Aufgabe 1 gezeigt $\beta = -\tanh\lambda $, man hat also einzusetzen $\lambda = \mbox{artanh}\, (-\beta) = \frac 12 \ln \frac {1-\beta}{1+\beta}$ und damit für die jeweiligen Komponenten: $e^{\pm \frac\lambda 2} = (\frac {1-\beta}{1+\beta})^{\pm \frac 14}$. Im ultra-relativistischen Grenzfall $\beta \to \pm 1$ erhalten wir $ e^{\pm \frac\lambda 2} \to (0,\infty) $ \\ Der in Abs. 7 definierte Dirac-Strom ist – als Probe – für alle drei Spin-Zustände identisch $J'\DEF \Psi'\HC {\Psi'} + \overline{\Phi'\HC{\Phi'}} = {e^\lambda,\; 0\choose 0,\; e^{-\lambda}} = \cosh\lambda + \sinh\lambda \sigma_3 = \frac 1{\sqrt{1-\beta^2}}(1 - \beta\sigma_3)$, was der üblichen Lorentz-Transformation $J' = T J \HC T$ entspricht, da für den Ausgangszustand (ruhendes Teilchen) $J = J_0 = 1$ ist (vergl. Aufgabe 1).\\ Fall (B) ergibt analog $T = \cos\frac \lambda 2 + i\sin\frac\lambda 2 \sigma_3 = { \cos\frac \lambda 2 + i\sin\frac\lambda 2,\quad 0 \choose 0,\quad \cos\frac \lambda 2 - i\sin\frac\lambda 2} = {e^{i\frac\lambda 2},\;0 \choose 0,\; e^{-i\frac\lambda 2}}$ und damit $\HC{\bar T} = T$ (wie erforderlich). Wir erhalten also a) $\Psi_\up' = \Phi_\up' = { e^{i\frac\lambda 2}\choose 0}$ b) $\Psi_\down' = \Phi_\down' = {0 \choose e^{-i\frac\lambda 2}}$ und c) $\Psi_x' = \Phi_x' = \W2 {e^{i\frac\lambda 2} \choose e^{-i\frac\lambda 2}} $. Wir merken an, daß sich für $\lambda = -\frac \pi 2$ ergibt $ \frac 14 { 1-i \choose 1+i},$ was einen Eigenvektor zu $\hat s_y = \frac 12 \sigma_2$ zum Eigenwert $+\frac 12$, also einen Spinor in +y-Richtung darstellt.\\ Eine volle Drehung um $\lambda = 360°$ ergibt $e^{\pm i\frac\lambda 2} = e^{\pm i\pi} = -1$ und damit $T= -I;$ kehrt also das Vorzeichen aller Spinoren um. Die Richtung des Spins bleibt dabei natürlich unverändert (siehe obige Erläuterungen).\\ Die in Abs. 2 definierte Lorentz-Invariante ist in allen sechs Fällen natürlich invariant: $\mu'\DEF \HC {\Phi_*'} \Psi'_* = \mu = \HC {\Phi_*} \Psi_* = 1$.
Ergebnis:\\ (A) Bei Bewegung des Koordinatensystems in z-Richtung bleibt der Spin für reine up/down-Spinoren erhalten, nur die Amplituden der links- und rechts-händigen Spinoren ändern sich (für ein ruhendes Teilchen sind sie gleich). Für andere Spinrichtungen findet eine partielle Drehung in $\pm z$-Bewegungsrichtung statt.\\ Man kann das verallgemeinern: Bei einem Lorentz-Boost in Richtung des Spins (bzw entgegesetzt) $\pm \vec x$ bleiben die Richtungen beider Spinoren untereinander gleich (wie im Ruhsystem). Dann gibt es einen definierten Spin des Bispinors (vollständige Polarisation). Bei Boosts in alle anderen Richtungen gibt es keine definierte Spinrichtung des Bispinors (teilweise Polarisation), da sich beide verschieden drehen. Zur genauen Beschreibung des Spinzustands muß man dann die Polarisationsmatrix verwenden: $\rho_{ik}$ (mit $i,k = 1,\dots 4$ als Bispinorindizes, LL IV, S. 100).\\ (Auch in der klassischen Quantenmechanik kennt man 'teilweise Polarisation', wenn ein Teilchen nicht durch eine spinorielle WF, sondern eine Dichtematrix beschrieben wird, LL, III, S. 213.) \\ \\ (B) Bei einer Drehung um die z-Achse ändert sich für reine up/down-Spinoren nur die Phase, während sich die Weyl-Spinoren $\Phi_x,\Psi_x$ in der xy-Ebene um den Winkel $-\lambda$ drehen.\\

Pauli-Gleichung

Die Pauli-Näherung gilt für Teilchen mit kleiner Energie. Um sie abzuleiten, muß man zunächst von der Weyl-Darstellung in \ref{eq-1} zur Pauli-Darstellung der Spinoren (bei LL, QED, S. 74 als 'Standarddarstellung' bezeichnet.) $\phi \DEF \W2(\Psi+\Phi),\; \chi \DEF \W2(\Psi-\Phi) $ übergehen, bei der für ein ruhendes Teilchen der Spinor $\chi$ verschwindet, denn dafür gilt $\Psi = \Phi$ (siehe oben). Damit leite man die (Schrödinger-)Pauli-Gleichung ab:
Die obige Definition (mit der Umkehrformel $\Psi = \W2 (\phi+\chi),\; \Phi = \W2(\phi-\chi)$), und mit der Zerlegung von $\partial \DEF \partial_0 +\nabla,\; A \DEF V + B$ in Skalar- und Vektoranteil ($\nabla\DEF \partial^k \sigma_k = -\partial_k \sigma_k,$ $V$ elektrisches Potential, $B\DEF B_k\sigma_k$ magnetisches Potential), also $\partial +\bar\partial = 2\partial_0,\; \partial - \bar\partial = 2\nabla$, $A+\bar A = 2V,\; A - \bar A = 2 B$ ergibt eingesetzt in \ref{eq-1} \BE \UL{m\phi} &=& \W2 (m\Psi + m\Phi) = \W2 ( (i\partial + eA) \Phi + (i\bar\partial +e\bar A) \Psi) = \frac 12 ( (i\partial + eA)(\phi-\chi) + (i\bar\partial +e\bar A) (\phi+\chi))\\ &=& \frac 12 ( (i\partial +i\bar\partial + eA +e\bar A)\phi + (i\bar\partial-i\partial +e\bar A - eA )\chi) = \UL{(i\partial_0 + eV)\phi - (i\nabla + eB)\chi} \EE und analog für die 2. Gleichung $ \UL{m\chi} = \W2 (m\Psi - m\Phi) = \W2 ( (i\partial + eA) \Phi - (i\bar\partial +e\bar A) \Psi) = \UL{-(i\partial_0 + eV)\chi + (i\nabla + eB)\phi}$. Die Dirac-Gleichung in Pauli-Darstellung ist damit für die zwei 2-Spinoren $\phi,\chi$: \BE \label{eq-pauli} \UL{ m\phi = (i\partial_0 + eV)\phi - (i\nabla + eB)\chi, \qquad m\chi = -(i\partial_0 + eV)\chi + (i\nabla + eB)\phi} \EE Das ist immer noch die Dirac-Gleichung: man kann sie auch direkt aus der 4-Spinor-Form erhalten, indem man eine andere Darstellung der Matrizen $\gamma^\mu$ benutzt: $\gamma^0 = {I,\; 0\choose 0,-I},\; \gamma^k = {\,0,\,\sigma_k\choose -\sigma_k, 0} $ (LL S. 75).\\ Der Zeitfaktor für die Ruheenergie $e^{-imt}$ wird nun abgespalten, indem man substituiert $\phi = \phi' e^{-imt}$ $\chi = \chi' e^{-imt}$, also zB $\partial_0 \phi = (\partial_0 \phi' - im \phi') e^{-imt}$ und damit ergibt die 1. Gleichung (das Prime' wird wieder weggelassen) $m\phi = (i\partial_0 + m + eV)\phi - (i\nabla + eB)\chi$ und die 2. $ m\chi = -(i\partial_0 + m+ eV)\chi + (i\nabla + eB)\phi$. In der 1. Gleichung fällt damit der m-Term heraus: $ (i\partial_0 + eV)\phi - (i\nabla + eB)\chi = 0$ und die 2. ergibt $ -(i\partial_0 + eV)\chi + (i\nabla + eB)\phi = 2m\chi$. Darin wird der erste Term wegen $|\chi| \ll |\phi|$ als klein angenommen und weggelassen, so daß wir erhalten $ \chi =\frac 1{2m}(i\nabla + eB)\phi$; was in der 1. Gleichung eingesetzt $(i\partial_0 + eV)\phi = \frac 1{2m}(i\nabla + eB)^2\phi $ ergibt. Setzt man darin ein $i\nabla + eB = (-i\partial_k + eB_k)\sigma_k,$ folgt schließlich die (Schrödinger-)Pauli-Gleichung für den 2-Spinor $\phi$ (LL S. 115)\FN{ Zur Verdeutlichung werden hier ausnahmsweise die ansonsten impliziten Summenzeichen mit dargestellt } \BE \label{eq-pauli-2} \UL{i\partial_0 \phi} = - eV\phi + \frac 1{2m} [\sum_{kl}(-i\partial_k + eB_k)(-i\partial_l + eB_l)\sigma_k \sigma_l ]\phi = \UL{ [- eV + \frac 1{2m}\sum_k(-i\partial_k + eB_k)^2 + \frac e{2m} H]\phi}. \EE Darin ist $H \DEF H_m\sigma_m \DEF (B_{l,k} - B_{k,l}) \epsilon_{klm}\sigma_m$ die Magnetfeld-Matrix. Zu beachten ist dabei, daß die Differentialoperatoren nur nach rechts wirken, also z.B. $\partial_1 B_2 - B_2 \partial_1 = (\partial_1 B_2) + B_2 \partial_1 - B_2 \partial_1 = (\partial_1 B_2) \DEF B_{2,1}.$ Damit ist $H_3 = B_{2,1} - B_{1,2} = (\partial_1 B_2) - (\partial_2 B_1).$\\ In \ref{eq-pauli-2} sind alle Terme bis auf den Term $\frac e{2m} H$ skalar (spin-unbhängig), d.h. für $H=0$ ergeben sich zwei unabhängige Gleichungen für die Spinorkomponenten (skalare Schrödinger-Gleichungen).

Beweis der Kontinuitätsgleichung für den Dirac-Strom

Die Bilinearformen $J^l \DEF \Psi\HC \Psi$ und $J^r \DEF \overline{\Phi\HC\Phi}$ sind offensichtlich Minkowski-Matrizen – sie sind nach Definition hermitesch und transformieren sich kovariant: $J^{x'} = T J^x \HC T$ (siehe Übungsaufgabe 4).\\ Es sei $\Psi \DEF{\alpha\choose\beta} $, dann ist $\HC \Psi = (\alpha^\ast,\beta^\ast) $ also $J^l \DEF \Psi\HC \Psi = {|\alpha|^2,\alpha\beta^\ast\choose \beta\alpha^\ast,|\beta|^2}.$ Und $\Phi \DEF {\gamma\choose\delta}$ ergibt $J^r \DEF \overline{\Phi\HC\Phi} = {\;|\delta|^2,-\gamma\delta^\ast \choose -\delta\gamma^\ast,\; |\gamma|^2}$ Wie man leicht sieht, sind beides Null-Vektoren $|J^l| = |J^r| = 0$ (lichtartig – d.h. 'Bewegung' mit Lichtgeschwindigkeit, und mit positiver Zeitkomponente $J_0^{l,r} \geq 0$), für die aber i.A. einzeln keine Kontinuitätsgleichung gilt.\\ Für ein ruhendes Teilchen ($\Psi = \Phi)$ haben die beiden lichtartigen Teilströme $J^l,J^r$ räumlich genau entgegengesetzte Richtung: $J^l = J_0 + \vec J,\; J^r = J_0 - \vec J$ (mit $J_0^2 = |\vec J|^2$).\\ Die Minkowski-Matrix des Dirac-Stroms wird damit gebildet als $\fbox \, J \DEF J^l + J^r = \Psi\HC \Psi + \overline{\Phi\HC\Phi}\,.$ (In der Literatur wird auch der mit der Ladung $e$ multiplizierte Strom $J \to eJ$ verwendet, was aber nur formalen Charakter hat.)\\ Bemerkenswert ist, daß der Dirac-Strom ohne partielle Ableitungen berechnet wird!\FN{ Vergleiche die Stromdichte der Schödinger-Gleichung für eine skalare Wellenfunktion $\Psi$: $\rho = |\Psi|^2,\; \Q j = \frac i{2m} (\Psi \nabla \CC\Psi -\CC\Psi \nabla\Psi),$ die die Kontinuitätsgleichung $\frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla j = 0$ erfüllt. (LL, Bd. III, S. 53) Wenn ein Magnetfeld vorhanden ist, muß man noch zusätzliche Terme hinzufügen, die das Vektorpotential enthalten, um die Kontinuitätsgleichung zu erfüllen. (LL, Bd. III, S. 456) }\\ Wie erforderlich gilt für die Zeitkomponente $\rho \DEF J_0 = \frac 12\TR(J) = \frac 12(|\Psi|^2 + |\Phi|^2) \geq 0.$ $\rho(t,\vec x)$ ist die übliche qm Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen bei einer Ortsmessung zum Zeitpunkt $t$ am Punkt $\vec x$ zu finden.\\ Damit müssen die Spinoren normiert werden: $\int \rho\, dV = \frac 12\int (|\Psi|^2 + |\Phi|^2 )\, dV \stackrel != 1$. Die Kontinuitätsgleichung beschreibt demzufolge die Ladungserhaltung. Diese Normierung ist aber nur für ein raumfestes Bezugssystem anwendbar, denn die Größe $J_0$ ist (als Zeitkomponente eines Minkowski-Vektors) nur bei $R^3$-Drehungen (unitäres $T$) invariant, nicht aber bei Lorentz-Boosts. Demgegenüber bleibt die Lorentz-Invariante $|J|$ bei allen Lorentz-Transformationen invariant (wie der Name sagt ;-), vergl. Abs. 5).\\ Die Kontinuitätsgleichung für $J$ also $\partial_\mu J^\mu = \frac 12\TR(\partial \bar J) = 0$ ist aus \ref{eq-1} zu beweisen (sie erzwingt dann die Normierung für alle Zeiten $t$ aus der Gültigkeit für $t=t_0$) und die Lorentz-Invariante ist zu bestimmen:
Wir mult. die 1. Spinor-Gleichung von links mit $\HC\Phi$ (damit entsteht eine skalare Gleichung): $m \HC\Phi\Psi = i\HC\Phi(\partial \Phi) + e \HC\Phi A \Phi$. Hermit. Konjugation davon ergibt $m \HC\Psi\Phi = -i(\HC\Phi \partial) \Phi + e \HC\Phi A \Phi$, da $\HC \partial =\partial $ und $\HC A = A.$\\ Subtraktion beider liefert $m (\HC\Phi\Psi - \HC\Psi\Phi)= i\HC\Phi(\partial \Phi) + i(\HC\Phi \partial)\Phi = i (\HC\Phi \partial\Phi)$, wobei der Ableitungs-Op $\partial$ jeweils in der Klammer wirkt.\\ Analog ergibt die 2. Gleichung $m (\HC\Psi\Phi -\HC\Phi\Psi )= i (\HC\Psi \bar \partial\Psi)$ und Summe beider $ (\HC\Phi \partial\Phi)+ (\HC\Psi \bar \partial\Psi) = 0$.\\ Damit folgt (mit der zykl. Spur-Regel) \BE \UL{\TR(\partial \bar J)} = \TR(\partial (\Phi\HC \Phi + \overline{\Psi\HC\Psi})) = \TR(\partial (\Phi\HC \Phi)) + \TR(\bar \partial (\Psi\HC\Psi)) = \TR((\HC \Phi \partial \Phi)) + \TR((\HC\Psi \bar \partial\Psi))\,\UL{= 0} \EE Die Lorentz-Invariante des Stromvektors ist \BE |J| &=& |J^l+J^r| = \frac 12 \TR((J^l+J^r)(\bar J^l+\bar J^r)) = |J^l|+|J^r| + \frac 12 \TR(J^l \bar J^r + J^r \bar J^l) = \frac 12 \TR(J^l \bar J^r + J^r \bar J^l)\\ &=& \TR(J^l \bar J^r) = \TR(\Psi\HC\Psi\Phi\HC\Phi) = (\HC\Psi\Phi)(\HC\Phi\Psi) =|\HC \Psi\Phi|^2\DEF |\mu|^2 \geq 0 \EE $J$ ist damit (wie für ein Teilchen mit Masse erforderlich) ein zeitartiger Minkowski-Vektor. Die Invarianz des komplexen skalaren Ausdrucks $\mu\DEF \HC \Psi\Phi$ folgt andererseits sofort aus den Transformations-Regeln der Spinoren (siehe Abs. 2) Damit zeigt sich, daß zusätzlich zum Absolutquadrat $|\mu|^2$ auch die Phase der komplexen Größe $\mu$ invariant ist.

Lagrange-Dichte

Die Lagrange-Dichte ist eine bilineare, skalare, reelle Form der Spinoren und ihrer hermit. Konjugierten (die wie üblich als unabhängige Variablen angesehen werden). Aus ihr lassen durch Variationsableitung mit den Euler-Lagrange-Gleichungen die Dirac-Gleichung zurückgewinnen, und aus inneren Symmetrien mittels Noether-Theorem direkt Erhaltungssätze ableiten (zB. die Kontinuitätsgl).\\ Sie wird hier aus \ref{eq-1} gebildet durch Mult. der 1. Gleichung von links mit $\HC \Phi$ und der 2. Gleichung mit $\HC \Psi$ und Addition beider: \BE \label{lagr-def} \LAGR (\Phi,\Psi,\HC\Phi,\HC\Psi,\partial\Phi,\partial\Psi,\dots,A) \DEF \HC\Phi(i\partial + eA) \Phi + \HC\Psi (i\bar\partial +e\bar A) \Psi - m (\HC\Phi\Psi + \HC\Psi\Phi) \EE Man beachte, daß die Differential-Op $\partial,\bar\partial$ hier nur nach rechts operieren. Die Lagrange-Dichte \ref{lagr-def} ist offensichtlich invariant unter U(1)-Eichtransformationen (Abs. 3).\\ Die Variation der (als unabhängige Variablen angesehenen) Spinoren $\HC\Phi, \HC\Psi$ als Euler-Lagrange-Gleichungn (da davon keine partielle Abl. auftauchen) $\frac {\partial\LAGR}{\partial \HC \Phi} = 0,\; \frac {\partial\LAGR}{\partial \HC \Psi} = 0$ ergibt sofort beide Gleichungen von \ref{eq-1}. Analog ergibt die Variation von $\Phi,\Psi$ dieselben Gleichungen. Z.B. die Variation von $\Phi$ ergibt (Aufgabe):
$\frac {\partial\LAGR}{\partial(\partial_\mu \Phi)} = i\HC\Phi\sigma_\mu$ und $\frac {\partial\LAGR}{\partial \Phi} = \HC\Phi eA - m \HC\Psi$ und die Euler-Lagrange-Gleichung $\partial_\mu \frac {\partial\LAGR}{\partial(\partial_\mu \Phi)} = \frac {\partial\LAGR}{\partial \Phi} $ ergibt also $ i\partial_\mu(\HC\Phi\sigma_\mu) = i(\HC\Phi\partial) = e\HC\Phi A - m\HC\Psi $ also nach hermit. Konjugation wieder die 1. Gleichung, qed.
% überarbeitet 7.5. 2022 (war vorher falsch!!) Der Ausdruck für $\LAGR$ ist offensichtlich skalar; es ist zu prüfen, wann das Integral $L \DEF \int dx^4 \LAGR $ reell ist:
Bis auf die Differential-Ausdücke sind alle Summanden in \ref{lagr-def} trivial reell; z.B. ist $(\HC\Phi A \Phi)^\ast = \HC\Phi A \Phi.$\\ Für die Differential-Ausdücke gilt (die Klammern zeigen die Op-Wirkung von $\partial$): $\LAGR_D \DEF i \HC \Phi (\partial \Phi) + i \HC \Psi (\bar\partial \Psi).$ Dann gilt $\CC \LAGR_D = -i (\HC \Phi \partial) \Phi -i (\HC \Psi \bar\partial) \Psi$ und folgl. der Imaginärteil $\LAGR_D - \CC \LAGR_D = i (\HC \Phi \partial \Phi) + i (\HC \Psi \bar\partial \Psi) = i\partial_\mu (\HC \Phi \sigma_\mu \Phi + \HC \Psi \bar\sigma_\mu \Psi).$ Nun kann man das Integral $L_D \DEF \int dx^4 (\LAGR_D - \CC \LAGR_D) $ mittels Gaußschem Integralsatz in ein Oberflächenintegral $L_D = \int dx^4 \partial_\mu (\HC \Phi \sigma_\mu \Phi + \HC \Psi \bar\sigma_\mu \Psi) = \oint dS_\mu (\HC \Phi \sigma_\mu \Phi + \HC \Psi \bar\sigma_\mu \Psi)$ umwandeln. Wählt man nun das 4-Volumen als Zeitintervall $t = [T_1,T_2]$ und räumliche Kugel mit Radius $R\to \infty,$ dann bleibt nur die Differenz der Raumintegrale $L_D = \left[\int dx^3 (\HC \Phi \Phi + \HC \Psi \Psi) \right]^{T_2}_{T_1}.$ Diese verschwindet, wenn die Normierungsbedingung immer erfüllt ist: $\int dx^3 (|\Phi|^2 + |\Psi|^2) = 1 $
Ergänzungsaufgabe zur Elektrodynamik\\ Das Hinzufügen der Lagrange-Dichte des freien elektromagnetischen Feldes in Gleichung \ref{lagr-def} erfolgt durch Addition von $\fbox \,\LAGR_{em} \DEF \Re(|F|) = \frac 12 (|F|+ |\HC F|)$ (vgl. Ebert: Eichtheorien, Akademie-Verlag 1989, S. 44 ff), wobei $\UL{F \DEF (\bar A\partial) - \frac 12 I\TR(\bar A \partial) = \vec E +i\vec B}$ die elektromagnetische Feldstärke-Matrix ist. $F$ ist spurfrei (dh. $\bar F = -F$), da $ \UL{ \bar F + F} = \bar\partial A - \frac I2 \TR(\bar\partial A) + (\bar A\partial) - \frac I2 \TR(\bar\partial A) = \bar\partial A + (\bar A\partial) - I\TR(\bar\partial A) = I \TR(\bar\partial A)- I\TR(\bar\partial A) = \UL{ 0}$ (als 2x2-Nullmatrix). Es gilt also auch $F = \frac 12((\bar A\partial) - \bar\partial A).$\\ In der Lorentz-Eichung gilt speziell $ \partial_\mu A^\mu =\frac 12 \TR(\bar\partial A) = 0$, also $ F = (\bar A\partial) = -\bar\partial A$. Die Transformationsregeln von $F$ unter Lorentz-Transformationen ergeben sich aus der Definition als $F\to F' = \bar \HC T F \HC T$.\\ Es gilt damit für die Feldinvariante $|F| = \frac 12\TR (F\bar F) = - \frac 12\TR(F^2) = - \frac 12\TR((\vec E + i\vec B)(\vec E + i\vec B)) = -\vec E^2 + \vec B^2 - 2i\vec E\cdot\vec B$ und folgl $\LAGR_{em} = \vec B^2 - \vec E^2.$\\ Man zeige, daß die Euler-Lagrange-Gleichung für die Variation von $A$ die üblichen Maxwell-Gleichungen in Matrix-Form $\fbox \,\partial F = eJ\,$ – mit dem Dirac-Strom $J$ als Quelle – liefert: (Für die Variationrechnung mit Matrizen siehe den letzten Absatz im Anhang.)
Das Vektorpotential $A$ taucht in Gleichung \ref{lagr-def} nur als Summe $\LAGR_A \DEF e\HC \Phi A \Phi + e\HC \Psi \bar A\Psi$ auf. Da beide Summanden skalar sind, kann man sie umformen zu $\LAGR_A = e\TR (\HC \Phi A \Phi) + e\TR(\HC \Psi \bar A\Psi) = e\TR (A \Phi\HC \Phi ) + e\TR(A\overline{\Psi\HC \Psi}).$ Die Variation der Dirac-Lagrange-Dichte in Gleichung \ref{lagr-def} ergibt damit $\frac{\partial\LAGR_A}{\partial A} = e(\Phi\HC \Phi + \overline{\Psi\HC \Psi}) = e\bar J$. (vergl. Abs. 7)\\ Wir bestimmen nun die Variation von $|F| = \frac 12\TR (\bar F F) = - \frac 12\TR ((\bar\partial A - \frac 12 \TR(\bar\partial A)(\bar\partial A - \frac 12 \TR(\bar\partial A)) = -\frac 12\TR ((\bar\partial A)(\bar\partial A)) + \frac 14 (\TR(\bar\partial A))^2 $, die nur Ableitungen von $A$ enthält. Um die Ableitungen $\partial_\mu A$ zu variieren, benutzen wir $\bar\partial A = \bar\sigma_\mu\partial_\mu A $ und erhalten $\frac{\partial |F|}{\partial (\partial_\mu A)} = - \bar\partial A\bar\sigma_\mu +\frac 12\TR(\bar\partial A)\bar\sigma_\mu = -F\bar\sigma_\mu$ und damit $\partial_\mu \frac{\partial |F|}{\partial (\partial_\mu A)} = -\partial_\mu F\bar\sigma_\mu = -(F\bar\partial).$\\ Analog ergibt die Variation von $|\HC F| $ denselben Ausdruck $\frac{\partial |\HC F|}{\partial (\partial_\mu A)} = -\bar\partial \HC F = - \bar\partial(A\bar \partial - \frac 12 \TR(\bar\partial A)) = -(F\bar\partial).$\\ Die Euler-Lagrange-Gleichung $\partial_\mu \frac{\partial \LAGR}{\partial (\partial_\mu A)} =\frac{\partial\LAGR_A}{\partial A} $ sind also identisch zu den Maxwell-Gleichungen $ -(F\bar\partial) = e\bar J$ bzw $\fbox \partial F = eJ$, da $\bar F = - F$, q.e.d.
Die Lagrange-Dichten $\LAGR,\,\LAGR_{em}$ sind offensichtlich beide invariant unter den in Abs. 3 definierten U(1)-Eichtransformationen.

Helizität (Links- und Rechtshändigkeit)

Ein 'up-Spinor' (Spin in $+z$-Richtung) hat die Form $\Psi = {\alpha\choose 0}$. Der zugehörige Teil-Dirac-Strom ist folglich $J^l = \Psi\HC \Psi = {|\alpha|^2,0\choose 0,\;0}$, er hat also die Komponenten $J_0^l = J_3^l = \frac 12 |\alpha|^2,\; J_1^l=J_2^l = 0$, die Bewegung erfolgt also (mit Lichtgeschwindigkeit) in $+z$-Richtung (Spin-Projektion in Bewegungsrichtung = +1 = 'linkshändig').\\ Es ist analog zu zeigen, daß der Spinor $\Phi$ rechtshändig ist:
Für den anderen Spinor ergibt ein $+z$-Spin $\Phi = {\gamma\choose 0}$ jedoch $J^r \DEF \overline{\Phi\HC\Phi} = {0,\; 0\choose 0,\,|\gamma|^2}$, also $J_0^r = -J_3^r = \frac 12 |\gamma|^2,\; J_1^r =J_2^r = 0$, die Bewegung erfolgt also in $-z$-Richtung (Spin-Projektion in Bewegungsrichtung = -1) = 'rechtshändig'.

Stationäre Zustände im Coulomb-Feld

Dieser Abschnitt soll einen wichtigen Anwendungsfall der Dirac-Gleichung berschreiben: Sie erklärt die Feinstruktur von Atom-Energienivaus mit gleicher Hauptquantenzahl, die bei der Schrödinger-Gleichung entartet sind, mittels Spin-Bahn-Wechselwirkung. (Allerdings ist sie nur für Ein-Elektron-Atome anwendbar, und auch die Kernmasse muß als unendlich angenommen werden, weil die zentripedale Mitbewegung des Atomkerns nicht – wie bei der Schrödinger-Gleichung möglich – dargestellt werden kann.)\\ Ausgangspunkt ist die Pauli-Darstellung (Übungsaufgabe 8, geeignet für kleine Energie) Gleichung \ref{eq-pauli}: $\UL{ m\phi = (i\partial_0 + eV)\phi - (i\nabla + eB)\chi, \; m\chi = -(i\partial_0 + eV)\chi + (i\nabla + eB)\phi}$ in der wir das Coulomb-Feld des Kerns $eV = \frac {Ze^2} r = \frac {Z\alpha} r,\, B = 0$ (mit $Z$ als Kernladungszahl, $r = |\vec x| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ als Kernabstand und $\alpha \DEF e^2 \approx \frac 1{137}$ als dimensionslose Feinstrukturkonstante) einsetzen. Für einen stationären Zustand setzen wir die Zeitabhängigkeit wie üblich an $\phi,\chi \sim e^{-i\epsilon t}$ mit der Energie $\epsilon$ und erhalten das Gleichungs-Paar \BE \label{eq-coulomb} (\epsilon +\frac {Z\alpha} r - m)\phi = i\nabla\chi, \; (\epsilon +\frac {Z\alpha} r +m)\chi = i\nabla\phi. \EE Die allgemeine Lösung dieser Gleichungen als Eigenwertaufgabe für $\epsilon$ gelingt in Kugelkoordinaten mit Trennung der Variablen mittels Spinor-Kugelfunktionen für die Winkelabhängigkeit und 'konfluenten hypergeometrischen Funktionen' für die $r$-Abhängigkeit (LL S. 120ff.).\\ Für den Grundzustand ($1S_{1/2}$-Zustand, niedrigstes Energieniveau) läßt sich die exakte Lösung jedoch mit dem einfachen Ansatz $\UL{\phi = f(r)\phi_0,\, \chi = i\frac{\vec x}r g(r)\phi_0}$ bestimmen, mit zwei reellen Funktionen $f(r),\; g(r)$ und beliebigem konstanten Spinor $\phi_0$:
% --- überarbeitet 31.3.2022: falsches Vz korrigiert: \nabla \DEF -\partial_k \sigma_k ---------- Es gilt $\nabla\DEF \partial^k \sigma_k = -\partial_k \sigma_k$ und $ \vec x \DEF x_k \sigma_k $ und damit $\nabla f(r) = f' \nabla r = -f' \frac {\vec x}r $ und $\nabla (g(r) \frac{\vec x}r) = -g'(\frac {\vec x}r)^2 + g \nabla \frac{\vec x}r = -g' - \frac 2r g$, da $\nabla \vec x = -3$. Eingesetzt in die obige Gleichung \ref{eq-coulomb} erhalten wir mit den Hilfsgrößen $\epsilon^\pm \DEF \epsilon +\frac {Z\alpha} r \pm m$ das Gleichungs-Paar $\epsilon^- f = g' + \frac 2 r g,\; \epsilon^+ g = - f'$. Zur Homogenisierung substituieren wir $a\DEF rf,\; b\DEF r g$ und erhalten damit $\UL{\epsilon^- a = b' +\frac br,\; \epsilon^+ b = -a' +\frac ar}.$\\ % ------ ab hier überarbeitet 6.3.2022 -------- Dieses lineare DGl-System liefert die Lösungen für alle Zustände $nS_{1/2}$ (mit den Quantenzahlen für Bahndrehimpuls $l = 0$ und Gesamtspin $j = \frac 12 $ entsprechend $ \xkappa = -1$).\\ Für den Grundzustand $n=1$ haben die Funktionen $a(r),\,b(r)$ keine Knoten (Nullstellen) und können als proportional angesetzt werden: $\UL{b(r) = c a(r)}$ mit konstantem Faktor $c.$\\ Das eingesetzt in das Gleichungspaar ergibt $\frac 1c\epsilon^- a = a' +\frac ar,\; c\epsilon^+ a = -a' +\frac ar$ und nach Addition eine Gleichung ohne Ableitungen: $ \frac 1c\epsilon^- + c\epsilon^+ = \frac 2r$ resp. $\UL{(\epsilon +\frac {Z\alpha} r - m) + c^2(\epsilon +\frac {Z\alpha} r + m) = 2\frac cr}.$\\ Koeffizientenvergleich der Terme $\sim \frac 1r, \sim 1$ liefert zwei Gleichungen $c^2 + 1 = \frac {2c}{Z\alpha},\; (c^2+1)\epsilon = (1-c^2) m.$ Die erste ergibt als quadratische Gleichung $c = \frac {1-\sqrt{1 - (Z\alpha)^2}}{Z\alpha} \approx \frac {Z\alpha}2$ (nur das '–' Vorzeichen der Wurzel ist möglich) und damit bestimmt die zweite schließlich die Energie des Grundzustandes als $\fbox \,\epsilon = m \sqrt{1-(Z\alpha)^2}\approx m(1- \frac 12 (Z\alpha)^2).$ Das klassische Energieniveau ist damit $E_0 \DEF \epsilon - m \approx - \frac m2 (Z\alpha)^2.$\\ Die lineare DGL für $a(r)$ lautet $ \frac {a'}a = \frac 1r - c\epsilon^+ = \frac {1-c Z\alpha} r - c(\epsilon + m) \DEF \frac \gamma r -\lambda.$ (Die 2. Gleichung ist identisch.) Sie läßt sich durch Trennung der Variablen direkt lösen: $\UL{a = a_0 r^\gamma e^{-\lambda r}}.$\\ Darin sind die Konstanten durch Einsetzen bestimmt als $\UL{\gamma} \DEF 1-c Z\alpha = \UL{\sqrt{1-(Z\alpha)^2}} $ und $\UL{\lambda} \DEF c(\epsilon + m) = \UL{ Z\alpha m}.$\\ Die Konstante $a_0 $ wird durch die Normierung der Wellenfunktion $\int dx^3 (|\phi|^2 +|\chi|^2) = 1$ festgelegt (s. folgende ÜA). Mit $ c = \frac{1-\gamma} {Z\alpha}\approx \frac {Z\alpha}2 $ gilt $|\chi|^2 = c^2 |\phi|^2 \approx (\frac {Z\alpha}2)^2 |\phi|^2 \ll |\phi|^2.$\\ Damit ist die Lösung eindeutig bestimmt, bis auf den konstanten Spinor $\phi_0,$ der die Spinrichtung des Hauptspinors $\phi$ ausdrückt (der Spin von $\chi$ ist wegen des Faktors $\vec x$ winkelabhängig).\\ Wir merken noch an, daß man 'hyperschwere' Kerne mit $ Z $ > $ 137 $ wegen $Z\alpha$ > $ 1$ mit der Dirac-Gleichung nicht als reines Coulomb-Feld beschreiben kann, weil die Energie dafür imaginär wird (LL S. 124).
Man berechne den Dirac-Stromvektor $J$ aus Abs. 7 für den Spinor $\phi_0 = {1\choose 0}$ (Spin-z-up) aus obigem Ansatz. % ----- neu 5.3.22 -----
Der Ansatz ergibt $\phi = f{1\choose 0},\; \chi = i \frac gr \vec x {1\choose 0} = i \frac gr {z,\;x-iy\choose x+iy,-z}{1\choose 0} = i\frac gr {z\choose x+iy}=i \frac gr {z\choose \eta}$ mit $\eta\DEF x+iy.$ Die Weyl-Spinoren werden aus der Umkehrformel von Abs. 6 bestimmt als $\Psi = \W2 (\phi+\chi),\; \Phi = \W2(\phi-\chi),$ also $\Psi = \W2 { f+ i g\frac zr\choose ig\frac \eta r},\; \Phi = \W2 { f - ig\frac zr\choose -ig\frac \eta r}.$ Daraus erhalten wir den linkshändigen Teilstrom $J^l \DEF \Psi \HC\Psi = \frac 12 {f+ ig \frac zr\choose ig\frac \eta r}(f-ig\frac zr,-ig\frac {\CC \eta}r) = \frac 12 {f^2+g^2\frac {z^2}{r^2},\,-ig\frac{\CC \eta}r (f+ ig \frac zr)\choose ig\frac \eta r (f-ig \frac zr),\quad g^2\frac{|\eta|^2}{r^2}}.$\\ Analog erhalten wir (mit $g\to -g$) $\Phi \HC\Phi = \frac 12 {f^2+g^2\frac {z^2}{r^2},\;ig\frac{\CC \eta}r (f- ig \frac zr)\choose -ig\frac \eta r (f+ig \frac zr),\; g^2\frac{|\eta|^2}{r^2}}$ also $J^r \DEF \overline{\Phi\HC\Phi} = \frac 12 {g^2\frac{|\eta|^2}{r^2},\;-ig\frac{\CC \eta}r (f- ig \frac zr)\choose ig\frac \eta r (f+ig \frac zr),\; f^2+g^2\frac {z^2}{r^2}} .$\\ Der Dirac-Strom ist folglich $J = J^l + J^r = \frac 12 {f^2+g^2,\,-2ifg\frac{\CC\eta}r \choose 2ifg\frac \eta r,\; f^2+g^2} = \frac I2(f^2+g^2) + \frac {fg}r{0, -i(x-iy)\choose i(x+iy),\; 0} \DEF {J_0+J_z,\; J_x -i J_y\choose J_x + i J_y,\; J_0-J_z}.$\\ Die räumlichen Komponenten sind damit $J_x = - \frac {fg}r y,\; J_y = \frac {fg}r x,\;J_z=0.$ Das beschreibt eine tangentiale Rotatitionsbewegung in der xy-Ebene (z = const.).\\ Das $J$-'Feld' ein quellenfreies Wirbelfeld, und die Kontinuitätsgleichung ist natürlich erfüllt: $J_{\mu,\mu} = J_{x,x} + J_{y,y} = -(\frac{fg}r)'\frac xr y + (\frac{fg}r)'\frac yr x = 0.$\\ Die obige Lösung eingesetzt ergibt $g \approx \frac{Z\alpha}2 f \ll f,$ also $J_0 \approx \frac 12f^2$ und $ fg \approx \frac{Z\alpha}{2}f^2.$ Die relativistische Geschwindigkeit ist damit $u_x \DEF \frac {J_x}{ J_0 } = -Z\alpha\frac yr,\; u_y \DEF \frac {J_y}{ J_0 } = Z\alpha\frac xr,$ also ein Kreisstrom um die z-Achse entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn, wobei die maximale Geschwindigkeit $\beta = Z\alpha \approx \frac Z{137}$ in der Ebene $z=0$ erreicht wird (unabh. von $r$).\FN{ Das ist eine beachtliche Geschwindigkeit: für $Z=1$ ergibt sich $v=\beta c = \alpha c \approx 2.200\, km/s.$ Es ist bemerkenswerterweise auch die Geschwindigkeit der 1. Bahn im (nichtrelativistischen) Bohrschen Atommodell (Wikipedia) von 1913.\\ Der Radius der n-ten Bahn ist darin aus der Kepler-Gleichung für eine Kreisbahn $\frac\alpha r = m v^2 $ durch Bohrs Drehimpuls-Quantelungs-Postulat $L_n = mr_n v_n \stackrel != n$ bestimmt zu $r_n = \frac {n^2}{\alpha m}$. Folglich ist die Geschwindigkeit $v_n = \frac n{m r_n} = \frac \alpha n.$ }\\ % ergänzt 21.6.22: Die Zeitkomponente (Dichte) ist $\rho \DEF J_0 = \frac 12(f^2+g^2) = \frac 12\frac {a^2+b^2}{r^2} = \frac 12 a_0^2(1+c^2) r^{2(\gamma-1)}e^{-2\lambda r}.$ Damit läßt sich die Konstante $a_0 $ aus der Normierungsbedingung $\int dx^3 \rho \stackrel != 1$ bestimmen: Es ist $I \DEF \int dx^3 r^{2(\gamma-1)}e^{-2\lambda r} = 4\pi \int_0^\infty dr\, r^{2\gamma}e^{-2\lambda r} = 4\pi \frac {\Gamma(2\gamma+1)}{(2\lambda)^{2\gamma+1}}.$ Mit $\gamma = \sqrt{1-(Z\alpha)^2} \approx 1$ und $\lambda = Z\alpha m$ erhält man $I \approx 4\pi \frac {3!}{(2Z\alpha m)^3} = \frac {3\pi}{(Z\alpha m)^3}$ und mit $c^2 \ll 1$ folgl. $a_0 \approx \sqrt{\frac 2{3\pi} (Z\alpha m)^3} $

Ergänzung: Spinor-Matrix & Matrix-Dirac-Gleichung.

% Neu 18.3.2022 Die hier gegebene Darstellung der Dirac-Gleichung in Matrix-Form findet man nicht in den Lehrbüchern. Zum direkten Verständnis der Dirac-Theorie ist sie nicht nötig. Sie hat aber den Vorteil, daß die Weyl-Darstellung in einer kompakten Matrix-Gleichung zusammengefaßt wird und alle relativistisch kovarianten Größen durch gleiche mathematische Strukturen (2x2-Matrizen) repräsentiert werden.
Spinor-Matrix & Matrix-Dirac-Gleichung.

Ausgangspunkt ist die Weyl-Darstellung der Dirac-Gleichung. \ref{eq-1} $ (i\partial + eA) \Phi = m\Psi,\; (i\bar\partial +e\bar A) \Psi = m\Phi.$\\ Wir benutzen eine allg. Identität, die für jede 2x2-Matrix $M \DEF m_0 + m_k\sigma_k$ gilt: $\bar M = m_0 - m_k\sigma_k = \UL{ \bar \sigma M^T \sigma}$, wobei $\sigma \DEF i\sigma_2 = {\, 0,\,1\choose -1,0}$. Die Bar-Op. ist also äquivalent zu einer Transponierung $M^T$ (die nur das Vz von $m_2$ umkehrt, da $\sigma_k^T = (-1)^{k-1} \sigma_k $ für $k=1,2,3$ gilt)\FN{ was explizit evident ist $\sigma_1^T = \sigma_1,\; \sigma_2^T = -\sigma_2,\;\sigma_3^T = \sigma_3.$ } und einer Drehung um die $y$-Achse um 180°, die die Vz von $m_1,m_3$ umkehrt. Wir setzten $M\DEF i\partial +e A$ und erhalten die 2. Gleichung von \ref{eq-1} als $\bar M\Psi = \bar\sigma M^T \sigma\Psi = m\Phi,$ und folglich nach komplexer Konjugation und Mult mit $\sigma $ von links $\HC M\sigma \CC \Psi = \sigma \CC\Phi$ also eingesetzt: $ (i\partial +e A)^\dagger\sigma \CC\Psi = \UL{(-i\partial +e A)\sigma \CC\Psi =m\sigma\CC\Phi}.$ \\ Wir definieren nun für jeden 2-Spinor $\Psi ={\alpha\choose\beta}$ einen Tilde-Operator (vergl. auch Abs. 2: Bar-Op für Spinoren) $\tilde\Psi \DEF -\sigma \CC\Psi = {-\CC\beta\choose \CC\alpha} = \bar \HC \Psi$.\\ Wie wir aus Abs. 5 wissen, stellt $ \tilde\Psi $ einen Spinor mit entgegengesetzter Spinrichtung zu $\Psi$ dar.\\ Damit lassen sich beide Gleichungen von \ref{eq-1} zu einer Matrix-Gleichung zusammenfassen: $\UL{eA(\Phi,\tilde\Psi) +\partial(i\Phi,-i\tilde\Psi) = m (\Psi,\tilde\Phi)}$, wobei in den Klammern $(\cdot,\cdot)$ jeweils 2x2-Matrizen stehen.\\ Wir definieren nun eine Spinor-Matrix $P \DEF (\Phi,\tilde\Psi) = {\gamma,-\CC\beta\choose\delta,\; \CC\alpha}$ und konstatieren dafür die allg. Relation $\bar \HC P = (\Psi,\tilde\Phi)$. Mit der Definition der unitären Matrix $S\DEF i\sigma_3 = {i,\;0\choose 0,-i}$ (als Ersatz für die imginäre Einheit $i$) erhalten wir schließlich die Matrix-Dirac-Gleichung $\fbox \; eAP +\partial PS = m \bar \HC P\; (#)\;$\\ Sie ist nach Herleitung äquivalent zur Spinorform \ref{eq-1} und natürlich kovariant unter Lorentz-Transformationen, wie die Transformations-Regel für $P$ zeigt: $P\to P' = \bar \HC T P$. Die Matrix $P$ transformiert sich also wie $\Phi$, dh wie ein rechtshändiger Spinor. ($ \bar \HC P$ transformiert sich wie der linkshändige Spinor $\Psi.$) Lokal kann man also mit der Transformation $T =\frac 1{\sqrt{|P|^\ast}} e^{\lambda S}\HC P $ (unimodular!) die Spinormatrix im neuen KS immer in die Form $P' = \sqrt{|P|} e^{\lambda S} $ ($\lambda = reell$) bringen (ein ruhendes T. im Spin-z-up-Zustand).\FN{ Beachte $e^{\lambda S} = I\cos\lambda + i\sigma_3\sin\lambda = {e^{i\lambda}, 0 \choose 0, e^{-i\lambda}}$ }\\ Die Determinante bleibt bei Lorentz-Transformationen invariant $|P'| = |\bar \HC T| |P| = |P|.$ (Sie ist gleich der komplex konjugierten Lorentz-Invarianten aus Abs. 2: $\mu\DEF \HC \Phi \Psi = |P|^\ast = \alpha\CC\gamma + \beta\CC\delta$.)\\ Der Dirac-Strom wird hier einfach zu $J = \Psi\HC \Psi + \overline{\Phi\HC\Phi} = \UL{\overline{P\HC P}}.$\\ Ein ruhendes freies Teilchen wird beschrieben durch $P = P_0 e^{-mt S},$ wobei die konstante Matrix $ P_0 = \bar \HC P_0 $ erfüllen muß. Im Ruhsystem ist also $ P = \bar \HC P,$\FN{ da auch $e^{-mt S}$ unitär ist: $ \HC{(\overline {e^{-mt S}})} = e^{-mt S}.$ } dh. eine unitäre Matrix.\\ % neu 11/23: Eine ebene Welle wird analog Abs. 4 dargestellt durch den Ansatz $P = P_0 e^{\VP(x) S}$ mit der Phase $\VP \DEF -k_\mu x^\mu = -\frac 12\TR (K\bar X).$ Dafür gilt in Gl. (#) $\partial P S = \partial P_0 e^{\VP S} S = -K P_0 S e^{\VP S} S = K P_0 e^{\VP S} \stackrel != m \bar \HC P_0 e^{\VP S},$ also $ KP_0 \stackrel != m \bar \HC P_0.$\\ Die Multiplikation von rechts mit $\bar P_0$ ergibt die Relation von Energie-Impuls-Vektor $K$ mit dem (hier konstanten) Dirac-Strom $J = \overline{P\HC P} = \overline{P_0\HC P_0} = J_0$: $\fbox K|P_0| = mJ_0$ \\ Die Eichinvarianz aus Abs. 3 ergibt sich mit $P \to P e^{\Lambda(x) S}$ (man beachte, daß $S$ mit $e^{\Lambda S}$ kommutiert und $\partial e^{\Lambda S} = (\partial\Lambda) e^{\Lambda S} S$ gilt.) \\ Die Richtung des Spins im Ruhsystem ist gegeben als $\vec s = \frac 1i P S P^{-1} = P \sigma_3 P^{-1}.$\FN{ Für $P = e^{\lambda S} $ folgt zB aus der Kommutativität sofort $\vec s = +\sigma_3,$ also Spin z-up. }\\ Die Lagrange-Dichte aus Abs. 8 ist gegeben als $\LAGR = \TR (\HC P(\partial P) S) + e \TR (\HC P A P) -m (|P|+|\HC P|)$ und ergibt wieder die Gleichung $(#)$ durch unabhängige Variation von $P$ oder $\HC P$.\\ Die Pauli-Darstellung aus Abs. 6 und 10 ergibt sich, wenn man $P$ in einen unitären ($H$) und 'anti-unitären' Anteil ($iG$) zerlegt: $H \DEF \W2 (P+ \bar \HC P) = \bar \HC H,\; G \DEF \frac 1{\sqrt 2 i} (P - \bar \HC P) = \bar \HC G$ also $P = \W2(H + iG),\; \bar \HC P = \W2(H - iG).$ Im Ruhsystem ist dann $G = 0$, entspricht also dem Pauli-Spinor $G \equiv \chi$ und $H \equiv \phi.$\\ Wir merken noch an, daß die Matrix $S \DEF i\sigma_3 \in SU(2)$ durch eine Ähnlichkeits-Transformation $P = P'U,\; U \in SU(2)$ in eine beliebige andere spurfreie Matrix $S' \in SU(2),\,\TR(S') = 0$ \FN{ sie hat also die Form $S' = i s_k\sigma_k$ mit $s_k^2 = 1$ } überführt werden kann, da sich Gleichung $(#)$ damit transformiert zu $eAP' +\partial P' \UB{USU^{-1}}_{\DEF S'} = m \bar \HC{P'}.$

Dimensions-Betrachtungen

% hinzugefügt 4.6.22 In den hier zugrundegelegten relativistischen Einheiten (siehe Einführung, $ c=\hbar = 1 $) lassen sich alle physikalischen Größen in Längeneinheiten $l$ [Meter] ausdrücken. Die Einheit der Masse ist zb $m \sim \frac 1l$ (die inverse Compton-Wellenlänge $m = \frac 1\lambda$), ebenso wie die anderen Faktoren in der Dirac-Gleichung: $\partial \sim A \sim \frac 1l$ (die Ladung $e = -\sqrt \alpha \approx -0.085$ ist dimensionslos).\FN {Die Dirac-Gleichung ist damit wie erforderlich 'dimensions-konsistent'.} Man bestimme die Einheit der Weyl-Spinoren $\Psi,\Phi$:
Aus der Dirac-Gleichung \ref{eq-1} allein läßt sich die Einheit der Weyl-Spinoren $\Psi,\Phi$ nicht bestimmen. Da sie eine lineare, homogene Gleichung ist, sind beliebige Dimensionen möglich. Mit Hilfe der Definition des Stromvektors aus Abs. 7 kann man jedoch sie jedoch ableiten. Aus den Maxwell-Gleichungn mit $F = -\bar \partial A \sim l^{-2}$ folgt $e J = \partial F = \sim l^{-3}$. Da $J \DEF \Psi\HC \Psi + \overline{\Phi\HC\Phi}$ folgt $\UL{\Psi,\Phi \sim l^{-\frac 32}.}$ Das ist konsistent mit der Normierungsvorschrift $\int \rho\, dV = \frac 12\int (|\Psi|^2 + |\Phi|^2 )\, dV \stackrel != 1$ sowie der Dimension der Lagrange-Dichte (Abs. 8, inkl. em Feld) $\LAGR \sim l^{-4}$.

Ausblick: elektroschwache Wechselwirkung & GSW-Theorie (Standardmodell)

% überarbeitet 6.-12. 6.22 & 12/23 (Siehe zB Ebert: 'Eichtheorien', Akademie-Verlag 1989)

Für die verallgemeinerte elektroschwache Wechselwirkung, die u.a. die Elektron-Neutrino-Wechselwirkung beschreibt, werden die lh. Spinoren $\Psi_e$ des Elektrons und des Elektron-Neutrinos $\Psi_\nu$ zu einem Isospindublett $\Psi_L = {\Psi_\nu\choose \Psi_e}$ zusammengefaßt.\FN{ Die hier nur für Elektron-Neutrino und Elektron (1. Teilchengeneration) $(\nu_e,e)$ beschriebenen Formeln gelten für alle Fermionen, also auch für die zwei schwereren Leptonen-Generationen $(\nu_\mu,\mu),\, (\nu_\tau,\tau)$ und (mit Abwandlungen) auch für die drei Quark-Generationen $(u,d),\,(c,s),\,(t,b)$. } Da im Standardmodell Neutrinos nur linkshändig vorkommen, bildet der rh Spinor des Elektrons ein Isospinsingulett $\Phi_R = (\Phi_e)$.\FN{ In der Literatur wird (anders als hier) die 4-Spinordarstellung auch für die händigen Spinoren benutzt, die in der Weyl-Darstellung überflüssige Nullspinoren enthält. Z.B. für $\psi_e^L = {\Phi_e \choose 0_2}$ als links- und $\psi_e^R = {0_2 \choose\Psi_e}$ als rechtshändiger Elektronenspinor (vergl. Abs. 1 chirale Projektionsoperatoren). Das Isospindublett ist dann ein Spaltenvektor mit acht Komponenten, von denen vier Null sind. }\\ Der (schwache) Isospin wird als Analogon zum gewöhnlichen Spin betrachtet: Ein Singulett hat den Isospin $I_W= 0$ mit nur einer Komponente; ein Dublett $I_W = \frac 12$ hat zwei Komponenten: $I_W^3 = + \frac 12$ entspricht $\Psi_\up = \Psi_\nu $ und $I_W^3 = -\frac 12$ entspricht $ \Psi_\down = \Psi_e.$ Die postulierte Verallgemeinerung der Dirac-Gleichung soll dann auch kovariant unter $SU(2)_L$-Drehungen im fiktiven Isospin-Raum sein.\FN{ Eine derartige "Drehung" um 180° verwandelt z.B. ein Neutrino in ein Elektron. }\\ Sie lautet $\UL{i\bar D_L\Psi_L = {0\choose m_e\Phi_e}}$\FN{ der bar-Operator für $\bar D_L$ ist hier für die Komponenten $\partial,B,W^k$ einzeln anzuwenden } und $\UL{iD_R \Phi_R = m_e \Psi_e}$ mit den kovarianten Ableitungen \BE \label{eq-esw-abl} D_L \DEF I \partial + iK_L \DEF I\partial + i(\UB{\frac {g'}2Y_w^L B\cdot I + \frac g2 W^k\sigma_k}_{\DEF K_L}) = {\partial,0 \choose 0, \partial} + i\frac {g'}2Y_w^L { B,0 \choose 0, B} +i\frac g2{W^3\;, W^1-iW^2\choose W^1+iW^2, -W^3} \quad\mbox{und}\quad D_R = \partial+ i\frac {g'}2Y_w^R B. \EE Darin sind $\partial,\, B,\, W^k$ hermitesche 2x2-Minkowski-Matrizen und $g$ die SU(2)L-, bzw. $g'$ die U(1)Y-Kopplungskonstante, und $Y_W^L = -1,\; Y_W^R = -2$ die Werte der schwachen Hyperladung der Fermionenfelder (Ebert p. 121 und \link{https://en.wikipedia.org/wiki/Higgs_boson}{en wiki}).\\ Die Kopplungs-Diagonalterme von $D_L$ sind $K_L^\pm \DEF \frac 12(g' Y_W^L B\, \pm\, g W^3) $. Sie sind die Verallgemeinerung der Wirkung des Vektorpotentials $eA $ und beschreiben die Wirkung der neutralen physikalischen Bosonen $A,Z$. Dazu substituiert man $B = \cos\theta_W A - \sin\theta_W Z,\; W^3 = \cos\theta_W Z + \sin\theta_W A$. Der Winkel $\theta_W$ ist der durch $\tan\theta_W = \frac{g'}g$ definierte Weinberg-Winkel. Damit ergibt sich $K_L^+ = \frac g{2\cos\theta_W}Z $ (wie erforderlich koppelt das Neutrino $\Psi_\nu$ als neutrales Teilchen nicht an $A$) und $K_L^- = -\frac g2(2\sin\theta_W A + \frac {\cos2\theta_W}{\cos\theta_W} Z) = -eA -\frac g2 \frac {\cos2\theta_W}{\cos\theta_W} Z$ wobei die Elementarladung durch $\UL{e = g\sin\theta_W}$ bestimmt ist. Für das Singulett ist die Kopplung $K_R \DEF \frac {g'}2Y_w^R B = - g'B = -eA +g\frac{\sin^2\theta_W}{\cos\theta_W} Z.$\\ Aus Experimenten ergibt sich ein Wert $\sin^2\theta_W =0.2229$ (\link{https://en.wikipedia.org/wiki/Weinberg_angle}{en wiki}). Aus $e^2 \approx \frac 1{137}$ ergeben sich damit alle Kopplungskonstanten zu $|e| \approx 0.0854,\; g \approx 0.181,\; g' \approx 0.0969.$\\ Die nichtdiagonalen Felder $W^\pm \DEF W^1\pm i W^2$ sind hermitesch konjugiert $W^- = \HC{W^+}$ und beschreiben geladene Bosonen. Sie vermitteln die schwachen Elektron-Neutrino-Umwandlungen $e\lra \nu$.\FN{ Wenn die Eichfelder $Z,W^1,W^2$ verschwinden, wird ein Neutrino durch die Gleichung $i\bar \partial \Psi_\nu = 0$ beschrieben. Eine sich zB in +z-Richtung bewegende ebene Neutrino-Welle hat also die Form $\Psi_\nu = \psi_0 e^{-i p(t-z)}$. Eingesetzt in die Gleichung ergibt das $i\bar \partial \Psi_\nu = p(\sigma_0 -\sigma_3)\psi_0 = 2p{0,0\choose 0,1}\psi_0 \stackrel != {0 \choose 0}.$ Folglich ist $\psi_0 = {\alpha\choose 0},$ dh. der Spin des Neutrinos ist ebenfalls vollständig in +z-Richtung (linkshändig). }

% ergänzt 14.6.22 Der Dirac-Strom des Elektrons allein kann folglich nicht der Kontinuitätsgleichung (vgl. Abs. 7) genügen – es gilt hier die K-Gleichung für den verallgemeinerten Leptonen-Strom, die den Erhaltungssatz für die Leptonenzahl $L_x$\FN{ Jede Leptonen-Generation $x=e,\mu,\tau$ hat ihre eigene, erhaltene Leptonenzahl. } ausdrückt (die Leptonen $e, \nu$ haben die Leptonenzahl $L_e = +1$, die Antiteilchen $\bar e, \bar \nu$ haben $L_e =-1$) . Der Leptonen-Strom wird definiert als Summe von Elektronen- und Neutrino-Strom $J \DEF J_e + J_\nu = \UB{\Psi_e\HC \Psi_e + \overline{\Phi_e\HC\Phi_e}}_{J_e} + \UB{\Psi_\nu\HC \Psi_\nu}_{J_\nu}.$ Man zeige analog Abs. 7, daß dafür die Kontinuitätsgl. $\TR(\partial \bar J) = 0$ erfüllt ist:

Für den rechtshändigen Anteil folgt wie oben aus $iD_R\Phi_e = m_e \Psi_e$ (hier wird lediglich $eA \to - \frac {g'}2Y_w^R B$ ersetzt) die Gleichung $\UL{i (\HC\Phi_e \partial\Phi_e) = m_e \HC\Phi_e\Psi_e - h.c.}.$\FN{ 'h.c.' bedeutet 'hermitesch konjugierte' der vorhergehenden Terme} \\ Die linksh. Gleichungen ergeben nach Multplikation von links mit $\Psi_L^\dagger = (\Psi_\nu^\dagger,\Psi_e^\dagger) $ eine skalare Gleichung: $ i \Psi_L^\dagger (\bar D_L \Psi_L) = m_e \HC\Psi_e\Phi_e,$ deren herm. Konjugierte lautet $ -i (\Psi_L^\dagger\bar D_L^\dagger) \Psi_L = m_e \HC\Phi_e\Psi_e,$ wobei der $\bar \partial$-Operator in $\bar D_L^\dagger $ hier nach links wirkt. Bei Subtraktion beider Gleichungen fallen außer den Ableitungen alle Terme heraus, da (mit $W^- = \HC{W^+}$) gilt $\bar K_L = \bar K_L^\dagger,$ und es bleibt $i (\Psi_L^\dagger {\bar \partial,0 \choose 0, \bar \partial} \Psi_L) = i(\Psi_\nu^\dagger\bar \partial \Psi_\nu) + i(\Psi_e^\dagger\bar \partial\Psi_e) = m_e \HC\Psi_e\Phi_e -h.c.$\\ Addition der rechtsh. Gleichung ergibt $(\Psi_\nu^\dagger\bar \partial \Psi_\nu) + (\Psi_e^\dagger\bar \partial\Psi_e) +(\HC\Phi_e \partial\Phi_e) = 0.$ Daraus folgt wie in Abs. 7 die Kontinuitäts-Gleichung für den Leptonen-Strom $\TR(\partial \bar J) = 0.$

\newcommand{\kappav}{ ϰ } Außerdem werden in der GSW-Theorie alle Massen-Terme (die r.h.s. der Dirac-Gleichung) mit dem berüchtigten Higgs-Mechanismus erzeugt; sie sind also für das 'freie Feld' gleich Null, womit die Isospin-Kovarianz hergestellt werden soll. Die zu \ref{eq-esw-abl} korrespondierende Lagrange-Dichte der 'freien' Fermionenfelder ist also $\LAGR_F \DEF i \Psi_L^\dagger \bar D_L \Psi_L + i \Phi_R^\dagger D_R \Phi_R.$\\ Um dennoch massive Leptonen zu erhalten, wird ein Higgs-Feld als Isodublett $\phi = {\phi^+\choose \phi^0}$ postuliert, mit einem Potential $V(\phi) \DEF -\mu^2|\phi|^2 + \lambda(|\phi|^2)^2,$ das infolge spontaner Symmetriebrechung einen von Null verschiedenen Vakuum-Erwartungswert $\phi_0 = {0 \choose \frac v{\sqrt 2}},\, v = \frac{|\mu|}{\sqrt\lambda} $ hat. Dieses konstante Feld soll im ganzen Universum zu allen Zeiten vorhanden sein. Es koppelt im Yukawa-Term der Lagrange-Dichte $\LAGR_Y \DEF -\kappav_e \HC \Psi_L \phi \Phi_R - hc = -\kappav_e \frac v{\sqrt 2} \HC \Psi_e \Phi_e - h.c.$\FN{ Für diese Rechnung ist es notwendig, daß die Komponenten von $\phi$ skalare Größen sind, also unter Lorentz-Transformationen invariant bleiben. } über die (frei wählbaren) dimensionslosen Parameter $\kappav_x$ mit allen Fermionenpaaren $(\nu_x, x),\; x=e,\mu,\tau$ und erzeugt so ihre Masse $m_x = \kappav_x \frac v{\sqrt 2}$, wobei die Neutrinos masselos bleiben. Der experimentelle Wert von $v$ ist $v \approx 246 GeV$ – das entspricht einer Masse, die größer als die aller bekannten Elementarteilchen ist!\\ Die Massen der Eichbosonen werden aus der Lagrange-Dichte des Higgsfeldes $\LAGR_H \DEF \frac 12 \TR(\HC{( D_L\phi)} \bar D_L\phi)-V(\phi)$\FN{ Das Higgs-Feld hat darin in $D_L$ die schwache Hyperladung $Y_W(\phi) = 1$ (Ebert S. 120) } bestimmt zu $M_{W^\pm} = \frac g2 v \approx 80GeV $ und $M_Z = \frac {gv}{2\cos\theta_W}\approx 91GeV.$\\ Das Higgs-Boson stellt einen Anregungszustand des Vakuum-Higgs-Feldes $\phi_0 + H(x)$ dar, und hat die Masse $M_H = \sqrt{2\lambda} v.$

% 16.6.22 Eichinvarianz: Ziel ist es, analog Abs. 8 eine Gesamt-Lagrange-Dichte zu erhalten, die invariant unter Phasentransformationen der $SU(2)_L \times U(1)_Y$-Eichgruppe $\Psi_L \to e^{i\frac g2\Lambda^k \sigma_k} e^{i\frac{g'}2 Y_W\Lambda}\Psi_L,\; \Phi_R \to e^{i\frac{g'}2 Y_W\Lambda}\Phi_R $ist.\\ Für die skalare, abelsche Gruppe $U(1)_Y$ mit $U_R =e^{i\frac{g'}2 Y_W\Lambda}$ ist die Invarianz trivial erfüllt, wenn sich das $B$-Feld wie $A$ in Abs. 8 transformiert $B \to B +\delta B = B + \partial \Lambda.$\\ Für die nichtabelsche $SU(2)_L$-Eichgruppe betrachtet man die Generatoren $U_L(\Lambda^k) = e^{i \frac g2\Lambda^k \sigma_k}$ für die Fermionendubletts $\Psi_L \to U_L\Psi_L$. $U_L$ ist darin eine unitäre 2x2-Matrix ($\HC U_L U_L = 1$), die nur auf Isospin-Indizes wirkt (nicht auf Spinor-Indizes). Um die Invarianz der Lagrange-Dichte $\LAGR_F$ zu erhalten, muß ein anderes, nichtlineares Eichtransformations-Verhalten für die Felder $W^k\to W^k +\delta W^k$ postuliert werden. Man bestimme dieses für die infinitesimalen Generatoren in linearer Näherung $U_L(\Lambda^k) = e^{i \frac g2\Lambda^k \sigma_k} \approx I + i\frac g2\Lambda^k \sigma_k$:

% 19.6.22 Einsetzen von $U_L$ ergibt $\LAGR_F \to i \Psi_L^\dagger U_L^\dagger \bar D_L U_L \Psi_L + \UB{i \Phi_R^\dagger D_R \Phi_R}_{= inv} \approx \LAGR_F + \frac g2\Psi_L^\dagger\UB{ ( \Lambda^k \sigma_k \bar D_L - \bar D_L \Lambda^k \sigma_k - \delta \bar W^k\sigma_k)}_{\DEF X}\Psi_L$ mit $\bar X = \Lambda^k\sigma_k (\partial + i\frac g2W^m\sigma_m) - (\partial + i\frac g2W^m\sigma_m) \Lambda^k\sigma_k - \delta W^k\sigma_k = i\frac g2\Lambda^kW^m(\sigma_k\sigma_m - \sigma_m\sigma_k) - \partial \Lambda^k\sigma_k - \delta W^k\sigma_k$\\ Aus $X \stackrel != 0$ erhalten wir $ \delta W^k\sigma_k = - \partial \Lambda^k\sigma_k - g\epsilon^{kml}\Lambda^k W^m\sigma_l$ und folglich $\UL{ \delta W^k \stackrel != - \partial \Lambda^k - g\epsilon^{lmk}\Lambda^l W^m}.$ (Auch für $\Lambda^k = const.$ ist $ \delta W^k \neq 0$) \\ Diesen Bosonen kann man analog dem A-Feld der Diractheorie Feldstärketensoren (als spurfreie 2x2-Matrizen) zuordnen als $F^k \DEF \frac 12((\bar W^k\partial) -\bar \partial W^k) - g\epsilon^{klm}\bar W^l W^m.$ Sie koppeln also mit gleicher Stärke $g$ untereinander wie an die Fermionen.\\ Dafür läßt sich eine SU(2)-invariante Lagrange-Dichte der Vektor-Bosonen analog dem em Feld definieren $\LAGR_{W} \DEF \sum_k \Re(|F^k|) $ (Ebert, S. 49 ff). Die damit abgeleiteten Euler-Lagrange-Gleichungen ergeben die Korrespondenzen zu den Maxwell-Gleichungen $\partial F^k - g\epsilon^{klm} W^l F^m = g J^k,$ wobei $J^k \DEF \TR_L(\sigma_k \Psi_L \HC \Psi_L)$ (einzeln nichterhaltene) Ströme sind. Die Spur $T_L()$ operiert dabei nur auf den Isospin-Indizes, zB ist $J^3 = \TR_L(\sigma_3 \Psi_L \HC \Psi_L) = \Psi_\nu \HC \Psi_\nu - \Psi_e \HC\Psi_e$

% 20.6.22 Die Yukawa-Lagrange-Dichte $\LAGR_Y$ ist invariant unter $U_L,$ wenn sich das Higgs-Feld wie die Fermionendubletts $\phi \to U_L\phi$ transformiert. Die Invarianz unter $U_R$ ist trivial.

% 10.12.23 Persönliche Bewertung der GSW-Theorie: Das Vorhandensein eines konstanten Higgs-Feldes mit enormer Stärke im ganzen Universum müßte sich auch anderweitig bemerkbar machen, z.B. als kosmologische Konstante. Dafür ist es aber um ca. 44 (!) Größenordnungen zu stark.\FN{ Die kosmologische Konstante des heutigen Standardmodells der ART beträgt $\Lambda = 10^{-52} m^{-2},$ was einer Energie von $ E = \sqrt\Lambda = 10^{-39} MeV$ entspricht. } Zudem ist sein Erwartungswert 'zufällig' so, daß sich die Neutrinomasse Null ergibt, und seine Kopplungskonstanten $\xkappa$ sind in der Theorie unbestimmt.\\ Es gibt auch keinen phys. Mechanismus, der die Form des Higgs-Potentials und die spontane Symmetriebrechung beschreibt.\\ Das Verhältnis der schwachen Hyperladungen $Y_W^R = 2 Y_W^L$ ist gerade so gewählt, daß das em Feld $A$ mit gleicher Stärke $e$ an die Elektron-Spinoren $\Psi_e,\Phi_e$ ankoppelt.

Einordnung & Bewertung der Dirac-Gleichung

Die Dirac-Gleichung wird benutzt, um hochenergetische Teilchen (Fermionen mit Spin 1/2) und die Feinstruktur von 1-Elektron-Atom-Energienivaus zu beschreiben. Die Entartung der Energienivaus mit gleicher Hauptquantenzahl wird dabei teilweise aufgehoben. Sie liefert auch eine Erklärung für die Verknüpfung von Spin und magnetischem Moment.\\ Sie läßt sich erweitern für elektroschwache Wechselwirkung (Abs. 13). Ebenso bildet sie die Grundlage für die relativistische Quantenfeldtheorie (Wikipedia).\\ Die Schrödinger-Pauli-Gleichung ist als Näherung für kleine Energien ableitbar, jedoch nicht relativistisch kovariant. Sie gilt also nur in einem speziellen Ruhsystem. Welches das ist, wird nicht spezifiziert (heliozentrisch, CBR-Ruhsystem,...?). Versucht man, die S-P-Gleichung relativistisch zu verallgemeinern, wird man wieder zur Dirac-Gleichung geführt.\\ Die S-P-Gleichung hat aber auch eigenständige Bedeutung, denn die Dirac-Gleichung ist bei der Beschreibung von (verschränkten) Mehrteilchensystemen nicht anwendbar. Um z.B. Atome mit mehr als einem Elektron (z.B. Heliumatom) zu beschreiben, muß man die Schrödinger(-Pauli)-Gleichung in einem 3n-dimensionalen Konfigurationsraum benutzen und dafür das Pauli-Prinzip einführen. Nur damit ist zB. das Periodensystem der Elemente erklärbar, was mit der Dirac-Gleichung nicht möglich ist.

Formel-Symbole

In der Regel stehen hier kleine lateinische Buchstaben $a,b,c,\dots$ für reelle Zahlen, kleine griechische Buchstaben $\alpha,\beta,\gamma,\dots$ für komplexe Zahlen (Ausnahmen: Pauli-Matrizen $\sigma_k$, Energie $\epsilon$, Feinstrukturkonst. $\alpha$, reelle Winkel $\VP,\theta,\dots$), große griechische Buchstaben $\Phi,\Psi,\dots$ für 2-Spinoren, große lateinische Buchstaben $A,B,C,\dots$ für 2x2-Matrizen und fettgedruckte, kleine lateinische Buchstaben $\Q {p,q},\dots$ für Quaternionen.
    W. Köhler     wolfk.wk@gmail.com