Der Zauberwürfel

Der Rubik-Würfel oder Zauberwürfel (siehe Wikipedia) besteht aus 3x3x3 = 27 kleinen Teilwürfeln, die im Innern durch eine Gleitmechanik verbunden sind, so daß man sie verdrehen kann. Äußerlich sichtbar sind 6 Außenflächen. Die Flächen werden nach ihrer Anfangposition mit L(eft)=0, R(ight)=1, B(ack)=2, F(ront)=3, D(own)=4, U(p)=5 bezeichnet.
Jeder Teilwürfel hat natürl. auch 6 Flächen. Es gibt je nach ihrer Lage vier verschiedene Arten von Teilwürfeln:

1. im Inneren ist ein unsichtbarer Würfel (der nur Mechanik enthält)
2. die 6 Mittelwürfel der Außenflächen haben nur eine sichtbare Seite, die anderen 5 bleiben unsichtbar. Sie können sich nur um ihre Achse drehen.
3. die 12 Würfel in der Mitte der Kanten (Kantenwürfel) haben zwei sichtbare Seiten, die anderen vier bleiben unsichtbar.
4. die 8 Würfel an den Ecken (Eckwürfel) haben drei sichtbare Seiten, die anderen 3 bleiben unsichtbar.

Von den 27 Würfeln sind nur die 12 Kantenwürfel und die 8 Eckwürfel tatsächlich beweglich.
Die Basisoperationen sind die Drehungen einer bel. Fläche um 90° im Uhrzeigersinn, sie werden mit dem entspr. Kleinbuchst bezeichnet, zB f für die Fläche F. Da diese für jede der 6 Flächen (L,R,B,F,D,U) anwendbar sind, gibt es also 6 Basisop. x = l, r, b, f, d, u. Mit einigen davon (in geeigneter Reihenfolge) läßt sich ein beliebig verdrehter Würfel stets in die Grundform zurückdrehen. Doppelte Drehungen einer Fläche (um 180°) werden mit xx = x2 bezeichnet. Da eine Drehung um 360° nichts ändert, gilt xxxx = x⁴ = 1 (als Identitäts-Operation). Zur Abkürzung schreibt man x- = xxx = x³ für eine Drehung um -90° (inverse Op). Bei allen Drehungen xⁿ verändern 8 Teilwürfel von X ihre Position, nur der mittlere Würfel (Typ = 2) der Fläche bleibt stets an gleicher Stelle, wie auch bei Drehungen aller anderen 5 Flächen.
Um den Würfel in die Grundform zu bringen, muß man sich also an diesen 6 Mittelwürfeln orientieren: sie legen fest, wo die Kanten- bzw Eckwürfel hinkommen müssen.
Drehungen zweier Ebenen sind genau dann vertauschbar (kommutativ), wenn beide Ebenen entgegengesetzt sind (diese enthalten keine gemeinsamen Teilwürfel), dh es gilt zB fb = bf , aber fr ≠ rf .
Für mathematisch Interessierte: In der Gruppentheorie schreibt man die Operator-Reihenfolge umgekehrt (von rechts nach links), da sie als Funktionen definiert sind, deren Argument rechts steht. D.h. unsere Op fr (zuerst f, dann r) lautet in mathematischer Form r(f(C)) = rf.

Dazu müssen zunächst die vier Kantenwürfel mit einer weißen Fläche richtig plaziert werden (ein weißes Kreuz auf D erzeugen). Die notwendigen Drehungen sind einfach direkt zu sehen, etwas räumliches Vorstellungsvermögen vorausgesetzt. Zweckmäßigerweise rotiert man den Würfel vorher in eine Perspektive, wo die beteiligten Flächen sichtbar sind.

1. Wir beginnen mit (D,F) = (weiß,pink). Er ist an der richtigen Position, aber falsch orientiert. Die Op dafür ist einfach zu sehen: d- l- f-
   
2. Als zweiter soll (D,R = weiß, blau) plaziert werden. Hier ist die beste Perspektive (D,B,R). Wir drehen ihn mit b zunächst in die U-Fläche, mit u an die richtige Position, und dann mit r2 wieder nach oben, also lautet die Op bur2
   
3. Als dritter soll (D,L = weiß, gelb) plaziert werden. Er befindet sich jetzt schon in der D-Fläche, aber an falscher Position. Dazu machen wir (L,U,B) sichtbar. Wir drehen ihn mit b2 zunächst in die U-Fläche, dann drehen wir diese mit u- und schließlich mit l2 wieder in D. Die komplette Op lautet also b2 u- l2.
4. Als letzter Kantenwürfel muß (D,B) = (weiß,rot) plaziert werden, der jetzt in der U-Ebene (mit falscher Orientierung) liegt. Ein Flip macht (B,U,L) sichtbar. Die Op dafür lautet dann u- l- b l
   

Damit ist das Kreuz mit allen vier Kantenwürfeln an der richtigen Stelle erzeugt.

Die vier Kantenwürfel von D sind hier schon richtig plaziert & orientiert (weißes Kreuz).
Nun müssen die vier Eckwürfel von D plaziert werden. Dazu benutzt man Op, die die Lage der 4 bereits sortierten Kantenwürfel nicht verändern. Das sind zuerst alle drei Drehungen der unteren Ebene U: uⁿ. Diese kann man kombinieren mit Drehungen der 4 Seiten (L,R,F,B), zB K = f uⁿ f- und K = f- uⁿ f
Die Op b uⁿ b- und r- uⁿ r vertauschen nur den Eckwürfel (DBR) alle anderen 8 Würfel auf D bleiben an ihrer Position.

1. Wir plazieren zuerst den Würfel (weiß,gelb,rot), der an Position (D,L,B) gehört. Das erfolgt mit u2 l u- l-
   
2. Als 2. wird (weiß,gelb,pink) an seine Position (D,F,L) gebracht, der sich jetzt auf (U,R,B), also entgegengesetzt, befindet, mit der Op (f u f-) u (f u f-) (Die Klammern hier und in den folgenden Formeln dienen nur zur besseren Übersichtlichkeit.)
   
3. Für 3. (weiß,pink,blau) benutzen wir nur u,r um die bereits plazierten Würfel nicht zu verdrehen: u- (r u2 r-) u2 (r u2 r-)
   Der letzte (weiß,blau,rot) läßt sich mit r- u r bzw u2 b u- b- an die richtige Position drehen, hat aber die falsche Orientierung
   Er muß daher erst umorientiert werden, was erfolgt mit u2 (b u2 b-) u (b u- b-).

Nun ist die Ebene D = weiß fertig

Bei diesen Beispielen ist die untere Ebene (D=weiß) bereits vollständig sortiert, der Kantenwürfel zwischen F und R (F,R = blau,pink) sitzt aber an der falschen Stelle. Es gibt für jeden Kantenwürfel drei falsche Möglichkeiten von Lage und Orientierung:

1. Obere Ebene (U) & Orientierung wie linkes Bsp
2. Obere Ebene (U) & Orientierung wie rechtes Bsp und
3. mittlere Schicht, aber falsche Orientierung und/oder falscher Platz.

Um diesen Würfel richtig zu plazieren, ohne die untere Ebene und die drei anderen Kantenwürfel der mittleren Ebene zu verändern, benutzen wir kombinierte Op. Um Euch das umständliche, vielfache Mausklicken zu ersparen, könnt Ihr sie mit den Buttons Anwenden einfach ausführen.

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1. Im linken Bsp ist die auszuführende Op
   
   K = (f- u2 f) u2 (r u r-) K Anwenden
2. Im rechten Bsp hat (F,R) eine andere Orientierung.
   Dann ist zu benutzen K' = u- (r u2 r-) u2 (f- u- f) K' Anwenden
   
3. Falls der Kantenwürfel bereits in der mittleren Schicht sitzt, aber falsch orientiert ist und/oder an der falschen Position, dreht man ihn mit einer inversen Op in die Ebene U, zB K- und dann wie oben mit der richtigen wieder hinein.

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Damit können alle vier Kantenwürfel der mittleren Ebene (F,R), (R,B), (B,L), (L,F) korrekt plaziert werden, und wir können zum letzten, kompliziertesten Schritt kommen: die Plazierung der obersten Ebene U.

Hier dient der linke, jungfräuliche Würfel zum Finden & Untersuchen solcher Op.
1. Zunächst definieren wir folgende Einfarben-Op.: Darin ist x = f,r,b,l eine bel. Drehachse (alle 4 Seitenflächen, außer u,d). Die Ausführung zeigt, daß ein Eck- und ein Kantenwürfel Platz und Orientierung beibehalten. Die anderen 3 Eckwürfel bleiben an ihrer Position, ändern aber ihre Orientierung. Die anderen 3 Kantenwürfel werden zyklisch vertauscht, behalten aber ihre Orientierung. Weiter stellen wir fest, daß eine dreimalige Ausführung hintereinander den Ursprungszustand wieder herstellt, also E³ = 1 gilt.
Außerdem ergibt die Kombination E₁(x) E_𝟤(x), daß nur die 2 Ecken, die x gegenüberliegen, ihre Orientierung ändern, alles andere bleibt ungeändert.

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2. Zur Änderung der Eckenpositionen und Kantenorientierung benötigt man eine Zweifarben-Op: Es sei x eine bel. Seitenfläche und y die im Uhrzeigersinn nächste Seitenfläche, also zB x=r, y=f . Mit der Op B(x) = x u x- y- B(r) Anwenden läßt sich erreichen, daß die ersten beiden Ebenen bis auf eine innere Vertauschung invariant bleiben. Anschließend kann auf die Ebene U eine Drehung uⁿ (n=1,2,3) anwenden und mit der inversen Op B-(x) = y x u- x- B^-(r) Anwenden die ersten beiden Ebenen wieder restaurieren. Damit definieren wir die Zweifarben-Op Z_n(x) = B(x) uⁿ B-(x) u⁽³⁻ⁿ⁾, die für n=1,2 alle benötigten Permutationen von U erzeugt. Z₁(r) Anwenden Z₂(r) Anwenden
Man erkennt, daß Z₁(r) nur die benachbarten Ecken (L,B) und (B,R) vertauscht, während Z₂(r) nur die diagonalen Ecken (L,B) und (F,R) vertauscht. Von den 4 Kanten bleiben zwei an ihrer Position, zwei werden vertauscht.
Daraus folgt, daß bei zweimaliger Ausführung von Z_n(x) alle 4 Ecken ihre Position beibehalten, während genau 2 Kanten ihre Orientierung ändern (es gibt nur 2 mögl. Orientierungen: richtig oder falsch). Für Z₁(r)2 sind das die Kanten F und R und für Z_𝟤(r)2 die gegenüberliegenden Kanten R und L. Es gilt Z¹2 = 1 (12-malige Anwendung ergibt den Anfangszustand.)

Es soll der linke Würfel gelöst werden.

1. Wir beginnen mit der Positionierung der 4 Eckwürfel
   Nach einer Drehung u- sind die Ecken (B,L) und (R,B) richtig positioniert, während die benachbarten Ecken (F,L) und (F,R) vertauscht sind.
   Folglich ist u- Z₁(l) Anwenden die richtige Op, die alle 4 Ecken positioniert.
   
2. Die 4 Kantenwürfel richtig orientieren (Plazierung beliebig) unter Beibehaltung der Postionierung der Ecken mit Hilfe von Z_n(r)2. Hier sind alle 4 Kanten falsch, sodaß wir die Op zweimal anwenden müssen, zB: Z₁(r)2 Anwenden (orientiert F,R) und Z₁(l)2 Anwenden (orientiert L,B) Jetzt sind alle 4 Kanten korrekt orientiert.
   
3. Im 3. Schritt werden die 4 Kanten plaziert, wobei ihre Orientierung gleich bleiben muß. Dazu benutzt man die obigen E₁(x), E_𝟤(x) Sie halten die x gegenüberliegende Kante fest und rotieren die anderen 3 im bzw. gegen den Uhrzeigersinn. Dieser Schritt entfällt hier, da alle 4 schon richtig liegen.
   
4. Als 4. und letzter Schritt müssen die 4 Eckwürfel richtig orientiert werden. Dazu benutzt man die Kombination E₁(x) E_𝟤(x).
   Wir wenden hier an E₁(f) E_𝟤(f) Anwenden, wonach nur noch die 2 Ecken auf der Seite F falsch orientiert sind. Diese werden mit E₁(b) E_𝟤(b) umgedreht: Anwenden (was ggf. zu wiederholen ist).

Wir sind fertig!

Zum Schluß ein Würfel zum Selbertesten